机械应用程序设计4(数学问题的处理).docVIP

第三部分 常用数学方法的计算机处理 计算机具有能按给定的计算步骤高速进行数学运算，并给出准确结果的能力，因此它已成为设计人员强有力的工具。有效地利用计算机，可以使我们从重复、繁琐的计算工作中解脱出来，腾出时间做更富有创作性的工作。 虽然计算机具有很强的计算能力，但在具体应用时仍然必须选用合适的计算方法，否则就可能得不到预期的结果（《计算方法》）。例如：大部分计算过程只需将公式输入计算机即可完成，而某些计算过程则难以交给计算机完成，（如方程/方程组的求解，积分/微分计算等）。 本节将介绍一些机械设计中常用的一些数学方法的计算机处理方法、程序流程图，以便大家掌握这些计算方法的原理，正确应用这些方法来解决工作中的计算问题。 求方程的根。 对一元方程，如果是一次或二次方程，可以根据公式直接求出该方程的精确解。而对于三次以上的方程或三角函数、对数、指数方程，则往往难以用直接解法求出方程的根。对于这些方程，我们在使用计算机求解时常用迭代法（借助一组公式重复计算）求出满足精度要求的近似解。 基本思想：如右图，求解方程的根实际上就是找到曲线f(x)与X轴的交点。对于曲线f(x)，我们先设定一个xi，则对应有yi = f(xi)，按照某种方法不断产生xi，使yi→0。直到对于某个x有f(x)≦ε，则可认为这个x为方程的根。 对半法。 思路： 对某个单调函数f(x)，若其区间[a, b]满足f(a)*f(b)0，取其中点xi，如果 f(xi)≦ε，则xi即为其近似根。否则 以xi为新区间的一个端点，构成一个 新的区间，重复上述过程。 步骤：①、输入求根区间a和b及精度要求ε。 ②、令xa=a,xb=b。 ③、计算xi，xi=(xa+xb)/2。 ④、计算f(xi)。 ⑤、判断f(xi)是否满足精度要求，若不满足，则用新的区间重复③到⑤的过程。 注：将此算法和下面的算法分别编成子程序/被调函数，以供以后编写程序时调用。 弓玄截法。 思路： 对某个单调函数f(x)，若其区间[a, b]满足f(a)*f(b)0，则在区间内一定与X轴相交，交点为xi，如果f(xi)≦ε，则xi即为其近似根。否则以xi为新区间的一个端点，构成一个新的区间，重复上述过程。 步骤：①、输入求根区间a和b及精度要求ε。 ②、令xa=a,xb=b。 ③、计算fa=f(xa)，fb=f(xb)。 ④、计算xi, 。 ⑤、求fi，fi=f(xi)。 ⑥、判断fi是否满足精度要求，若不满 足，则用新的区间重复④到⑥的过程。 牛顿法。 思路： 对某个单调函数f(x)，若其区间[a, b]满足f(a)*f(b)0，过方程区间的某个端点作切线，用此切线方程的根作为原有方程的近似根，若不满足精度要求，则过此点（根）再作切线求根，不断重复直到满足条件。 步骤：①、输入求根区间端点a及精度要求ε。 ②、令xa=a。 ③、计算fa=f(xa)及导数值fa’。 ④、计算xi, 。 ⑤、求fi，fi=f(xi)。 ⑥、判断fi是否满足精度要求，若不满 足，则用新的区间重复④到⑥的过程。 注：上述三种求根的方法，一般来说以牛顿法求解速度最快，弓玄截法其次，对半法最慢。但这不是绝对的，实际上求跟根的速度还与方程的形式及区间情况有关。 例题： 求方程在[0.3，2.5]区间内的根。 （尝试分别用以上三种方法分别编写程序完成。） 区间内有几个根时的求解。 前面几种方法在讨论求解方程的根的时候都加上了限制条件（单调函数f(x)、 在区间[a, b]满足f(a)*f(b)0等），而在实际应用时函数f(x)可能不满足上述条 件。 下面我们来分析对某连续函数f(x)的曲线： 从上图我们可以看出： （1）、当区间两端函数值之积小于零时（异号），方程至少存在一个根，方程 也可能有奇数个根。 （2）、当区间两端函数值之积大于零时（同号），方程在区间内可能有偶数个 根，也可能无根。 由上述分析可知，若我们在一个比较大的区间范围内求方程的根时，可能有多个根 的存在。解决办法是把此较大的区间分作若干个较小的子区间来讨论。 如果子区间两端函数值符号相反则必定有根，如果子区间两端函数值符号相同则无根。而且只要子区间取得足够小，则可求得区间内的所有根。 所以：求某方程f(x)=0在区间内全部根时，过程如下： （1）、将区间[a，b]分为适当大小的区间，共n等分，区间宽度为h，h=(b-a)/n。 （2）、从区间下界a点出发，求第一个子区间两端的函数值，如果异号则求根（使用对半法、弓玄截法或牛顿法），否则换到下一个子区间。 一直到全部子区间求解完。 求解流程图如下： 连续函数在区间内有多个根时的求根方法的流程图： 例题：