§8.1.1 椭圆及其标准方程.docVIP

第八章 圆锥曲线方程 课时安排：13课时。 §8.1 椭圆及其标准方程（一） 第一课时 教学目标： （一）教学知识点：椭圆的定义、焦点、焦距，椭圆的标准方程。 （二）能力训练：（1）让学生明确圆锥曲线的概念； （2）让学生理解并掌握椭圆的定义、焦距； （3）让学生掌握椭圆的标准方程及其推导方法。 教学重点：椭圆的定义及其标准方程。 教学难点：椭圆标准方程的推导。 教学方法：讲授法。 教学过程： 一、课题导入 圆锥曲线是用平面去截圆锥而得的曲线。那么如何画椭圆呢？ 取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上和两点，当绳长大于和的距离时，用笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画图板上漫漫的滑动，就可以画出一个椭圆。 二、新课讲解 从画图过程中可以看出，椭圆是一个动点到两个定点，的距离之和等于定长（即为绳子的长度）的点的集合。于是 根据椭圆的定义，我们来求椭圆的方程。椭圆的定义：在平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 如图8-2，建立直角坐标系，使x轴经过点，，并且点 O与线段的中点重合。 设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c0）,那么，焦点，的坐标分别为，又设与，的距离之和等于常数2a(a0)， 由椭圆的定义，椭圆就是集合， 因为 所以 。移项平方得： 整理得： 再平方得：。 由椭圆的定义可知：， 所以 令代入上式 得 两边同时除以 得 叫做椭圆的标准方程。 这个方程表示的椭圆是焦点在x轴上，焦点是，其中：。 问：如果我们在建立直角坐标系时，使y轴经过点，，并且点 O与线段的中点重合。那么得到的方程将是什么样的呢？ 同理：设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c0）,那么，焦点，的坐标分别为，又设与，的距离之和等于常数2a(a0)， 由椭圆的定义，椭圆就是集合 ， 因为 所以 。化简得： 令代入上式 得， 两边同时除以 得 这个方程也是椭圆的标准方程。 这个方程表示的椭圆是焦点在y轴上，焦点是，其中：。 实际上，在图8-3中，相当于8-2中的x轴，y轴交换，再将x轴改变方向。因此，只要将方程中的x，y交换，就可以得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程。虽然改变了x轴的方向，但是方程以-y代y后方程仍不变。 三、小结 椭圆的定义：在平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。标准方程：焦点在x轴上，椭圆的标准方程为： ， 焦点是。这焦点在y轴上，椭圆的标准方程为： ， 焦点是。其中： §8.1 椭圆及其标准方程（二） 第二课时 教学目标： （一）教学知识点：（1）如何判断椭圆的焦点在那条坐标轴上； （2）求椭圆的标准方程； （二）能力训练：（1）熟练的掌握判断一个椭圆的标准方程表示的曲线在焦点在x轴，y轴 （2）使学生掌握确定椭圆的标准方程中的参数a，b的求法； 教学重点：求椭圆的方程。 教学难点：待定系数法的应用。 教学方法：讲授法。 教学过程： 一、课题导入 前两节课我们学习了椭圆的定义及其椭圆的标准方程，椭圆的定义：在平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。标准方程：焦点在x轴上，椭圆的标准方程为： ， 焦点是。这焦点在y轴上，椭圆的标准方程为： ， 焦点是。其中：。 1、椭圆的定义： 在平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 （1）常数记为2a，应特别注意：即；如果，其轨迹为线段，如果，其轨迹不存在； （2）椭圆的定义表达式为。 2、椭圆的标准方程： （1）“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴； （2）标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴，焦点在x轴上时，标准方程为；焦点在y轴上时，标准方程为为了计算方便，有时也表示为，为标准方程的统一形式； （3）椭圆的标准方程中，如果的分母大，焦点就在x轴上；如果的分母大，焦点就在y轴上，且标准方程中的a,b确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定性条件； （4）椭圆的标准方程中，a,b,c三者之间a最大，且。 由此，我们求椭圆的标准方程就不用坐标法了。只要将a，b确定就可以了。 三、实际应用 例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别为（-4，0），（4，0），椭圆上一点P带两焦点的距离的和等于10；