[经济学]第四节 极限运算法则.ppt

第四节 一、 无穷小 定义1. 若 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) 二、 无穷大 注意: 例 . 证明 三、无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小运算法则 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 例1. 求 四、 极限的四则运算法则 定理 4 . 若 定理 5 . 若 定理6 . 若 例3. 设有分式函数 例5 . 求 例6 . 求 一般有如下结果： 定义. 例1. 证明: 当 定理1. 定理2 . 设 说明: (3) 因式代替规则: 例2. 求 内容小结 思考及练习 3. 求 4. 试确定常数 a 使 备用题 设 1. 是否存在 ? 为什么 ? 答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 , 与已知条件 矛盾. 解: 原式 2. 问 解法 1 原式 = 解法 2 令 则 原式 = * 第一章 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则 一 、无穷小运算法则 极限运算法则 当 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 为 时的无穷小 . 时为无穷小. 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C 时 , 函数 (或 ) 则称函数 为 (或 ) 则 时的无穷小 . 其中? 为 时的无穷小量 . 证: 当 时,有 对自变量的其它变化过程类似可证 . 定义2 . 若任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 (正数 X ) , 记作 总存在 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 若 为无穷大, 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 则 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 时, 有 定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设 当 时 , 有 当 时 , 有 取 则当 因此 这说明当 时, 为无穷小量 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如， 类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 证: 设 又设 即 当 时, 有 取 则当 时 , 就有 故 即 是 时的无穷小 . 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 解: 利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 . 则有 证: 因 则有 (其中 为无穷小) 于是 由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 . 定理 3 . 若 则有 提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 . 说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . ( C 为常数 ) 推论 2 . ( n 为正整数 ) 例2. 设 n 次多项式 试证 证: 为无穷小 且 B≠0 , 则有 证: 因 有 其中 设 无穷小 有界 因此 由极限与无穷小关系定理 , 得 为无穷小, 则有 提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 . x = 3 时分母为 0 ! 其中 都是 多项式 , 试证: 证: 说明: 若 不能直接用商的运算法则 . 例4. 若 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因 解: 时, 分子 分子分母同除以 则 分母 “ 抓大头” 原式 为非负常数 ) 都是无穷小, 引例 . 但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . 五、无穷小的比较 若 则称 ? 是比 ? 高阶的无穷小, 若 若 若 若 或 设 是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称 ? 是比 ? 低阶的无穷小; 则称 ? 是 ? 的同阶无穷小; 则称 ? 是关于 ? 的 k 阶无穷小; 则称 ? 是 ? 的等价无穷小, 记作 例如 , 当 ～ 时 ～ ～ 又如 ， 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, ～ 且 时, ～ 证: ～ ～ ～ 证: 即 即 例如, ～ ～ 故 且 存在 , 则 证: 例如, 设对同一变化过程 , ? , ? 为无穷小 , 无穷小的性质, (1) 和差取大规则: 由等价