[工学]材料力学7—应力状态分析.pptVIP

利用三角恒等式，可以得到斜截面上应力 sx ′ 和 tx′y ′ 的方程写成 ? 平面应力状态分析 或写成 Problem 3 The First Kind of Exercise: The Analysis of the Stress-State Problem: The element is shown in the figure blow and AC is a free surface (no stress in it). Determine :σx and τxy. Problem 3 The First Kind of Exercise: The Analysis of the Stress-State Solution：Us the coordinate conversion equation: x y Because the section AC is free surface, we have x′ y′ 30° Problem 3 The First Kind of Exercise: The Analysis of the Stress-State 2、坐标变换，平面应力分析 2.1. 应力的符号规定 在法线方向沿坐标轴正向的微元面上，与坐标正向相同的应力分量为正；反之为负。 在法线方向沿坐标轴负向的微元面上，与坐标正向相反的应力分量为正。反之为负。 x y 拉应力为正，压应力为负。 2.2. 数学准备 单位矢量 n： 矢量 a 在 n 方向上的投影 与 n 垂直方向上的单位矢量 t y x n α y x n α π/2 y x n t α π/2 y x n t α π/2 x α n y x α n y n a n a n a an 2.3. 斜截面上的应力 n α ΔA n α ΔA n α σx ΔA n α τxy σx ΔA n α n α τxy σx σy τyx ΔA n α τxy σx p σy τyx ΔA ΔA x y 考虑力平衡 n α τxy σx p σy τyx ΔA p y p x σx τyx ΔA p x nxΔA nyΔA τxy σy ΔA p y nxΔA nyΔA n α τxy σx p σy τyx ΔA n α τxy σx p σy σa τyx ΔA 切向投影分量计算式 正应力分量由公式可得： n α τxy σx p σy σa τyx ΔA 切应力分量 x y n α τxy σx p σy τyx ΔA n α τxy σx p σy τyx τa ΔA 1. 正应力的极值 2.4 主应力与主方向 使法向应力取极值的角度应满足 法向应力的极值称为主应力 ( principal stress )。 重要结论 一定存在着相互正交的主方向。 使法向应力取极值的微元面称为主平面 ( principal plane )。 主平面的法线方向称为主方向 ( principal direction )。 2. 主方向和主应力的计算方法 1) 只求主应力时，可直接利用公式 求出两个主方向 α1 和 α2 ；再将 α1 和 α2 分别代入 即可求出相应的两个主应力。 2) 若主应力和主方向都需计算，则可先利用 3. 主应力排序 σ2 = 10, σ3 = 0 σ1 = 15, σ1 = 15, σ3 = –10, σ2 = 0 10 15 15 10 例 只有一个主应力不为零的应力状态称为单向应力状态。 有两个主应力不为零的应力状态称为双向应力状态。 10 σ3 = –10, σ1 = σ2 = 0 , 重要结论 主平面上切应力为零。 4. 主平面上的切应力 切应力为零的微元面就是主平面。 求如图的纯剪状态的主应力和主方向。 16 45° 16 16 应力状态矩阵 动脑又动手 24.1 4.1 22.5° 112.5 ° 20 10 求如图应力状态的主应力和主方向。 应力状态矩阵 动脑又动手 2.5 最大切应力 重要结论 具有最大切应力的微元面的法线方向与主方向相差 45°。 使切向应力取极值的角度应满足 x y x y x y x y 具有最大切应力的表面上的正应力 σ2 σ1 σ2 σ1 σ1 σ3 σ1 σ3 σ2 σ3 σ2 σ3 试求（1）? 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 例题1：一点处的平面应力状态如图所