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* 1．导数的定义 2．求导法则 3．微分与应用 一、要 点 1．导数的定义 1) 导数 左导数 右导数 函数可导 左导数=右导数． 可导与连续的关系：函数在一点可导，则在该点连续． 导数的几何意义：函数在一点的导数为函数曲线在该点 曲线的切线方程及法线方程： 切线 法线 的切线斜率． 2) 求导法则 设 为可导函数，则 反函数的求导法则 设函数 为 的反 函数，直接函数 在区间 上连续、单调，可导且 其导函数 ，则 对于具有更多中间变量的复合函数，则相应的导数为 复合函数的导数 设函数 均为可导 函数，则函数 为可导函数，且 3) 高阶导数 若函数 是 阶可导，则递归定义 ，或 ， 其中，记 ． 阶导数的Leibniz公式 设 为两个 阶可导的函数， 则函数 也 阶可导，且有 由隐函数求导法，得到对数求导法． 4) 隐函数的导数 设函数 由方程 确定，在一定的条件下，可以求出函数 的导数． 注意，一般情况下，其导函数的表达式仍然以隐式方程的 形式给出． 5) 由参数方程确定的函数的导数 设函数 由参 数方程 确定，则当 时，可确定 为 的函数(或 为 的函数)，相应的导数为 由此方法，可得到更高阶的导数． 若令 ，则 3．微分 1) 微分的定义 若函数 的增量具有表达式 则函数 可微，相应的微分为 2) 可微的条件 函数 在点 处可微的充要条件 是 在点 可导，且有 3) 微分应用 近似计算公式 二、例题选讲 例1 设 求 ． 解 当 时， ， ， 当 时， ， ， 当 时， 即 不存在．因此 例2 设 且 存在， 求 ． 解 因 存在，故 在 处连续，所以 即得 ． 又因 存在，而 因此 ． 例3 设 在 的某个邻域内有定义，又 ，讨论下列函数在 的可导性： ⑴ ； ⑵ ． 解 ⑴设 ，则 ， 即 ． ⑵ 设 ，则 ， 故极限存在的充分必要条件为 ，此时 例4 设 其中 ，且 ，证明 证