[理学]第2章 - 线性方程组求解的数值方法.pptVIP

而 所以 故，本页第一个式子可写为 由于 ，故 (b)得证 显然对于任意的正整数p，都有 那么在本页第一个式子中反复利用上式就可以得到(a) (a)得证 给出的关系可以作为计算终止的判别准则。即只要 和 已足够接近，表明 与 便已足够靠近。 定理3.14 (a) 给出的是迭代收敛速度的一个估计。显然 越接近0，生成序列 收敛得越快。 定理3.14 (b) 定理3.14的讨论 3.6 超松弛迭代(SOR)及分块迭代方法 对于给定的迭代法，每步迭代所需的工作量是确定的。如果迭代法收敛速度缓慢，则需要比较多的迭代次数，由此导致算法工作量太大而失去使用价值，因此各种迭代法的加速技术具有重要意义。 假设 是已经得到的迭代值，以 为初值进行一步Gauss-Seidel迭代得： 将这一迭代值与 的值组合作为新一步的迭代值 其中 为待定的参数，写成矩阵形式为： 这时迭代矩阵： 新的迭代每步的计算代价与Gauss-Seidel方法相差无几，如果能取得恰当的 值，使新构造的方法比Gauss-Seidel方法收敛得更快，松弛就起到了加速的作用。 在实际上真正使用的 值通常的范围为 ，被统称为超松弛方法，简称SOR (Successive Over-Relaxation)方法。 上面的这个方法就叫做松弛方法，它可以视为Gauss-Seidel方法的加速。显然 时，上面这个方法就是Gauss-Seidel方法。 定理3.5 SOR方法收敛的必要条件是： 证明： 假设SOR方法收敛，所以 设 为 的特征值，则 另一方面，经过计算不难得到 故 ，结论得证。 分块矩阵以及分块迭代方法 在许多实际应用中，矩阵可以写成如下分块的形式： 其中 是 阶的方针，而且 据此可以构造分块形式的迭代法，考虑 其中 求解方程组 ，分块的Jacobi迭代法为： 分块的Gauss-Seidel迭代法为： 分块的超松弛迭代法(BSOR)为 3.7 线性方程组的条件 对于线性方程组 如果解x关于问题（即矩阵A和向量b）的“微小”变化(来源可能是模型误差或数据上的误差，也可能是数值计算中的摄入误差)不敏感，那么这个问题即是一个“好”问题，反之就是“坏”问题或者病态的问题。 关于病态的例子，我们在第一章中已经包含了一个，这一章主要用范数作为工具来分析线性方程组的好坏。 例 设有方程组 已知系数 测量数据 待求数据 其中A为 ，若测量数据为准确数据， 即 ，那么很容易计算 如果测量数据不够精确，即测量数据仅保留了2位有效数字，即 ，计算结果为 如果测量数据和系数矩阵的数据都仅保留了2位有效数字，即 ，则计算结果为 以上问题称为病态的问题，病态是问题本身固有的。 (1) 考虑由于右端的扰动所引起的解的变化， 已知 两式相减得 利用范数关系可以得到： 综合上述两式有： 这个式子给出了右端的扰动可能引起解扰动的上界，显然 越小，方程右端的变化引起解的变化就越小。 (2) 考虑由于矩阵A有扰动时所引起的解的变化 可以得到： 其中利用了 经过整理可以得到 (3) 考虑更一般的情形所引起的解的变化 假设满足如下的特殊形式： 又Tylor展开， 可以写成 对 求导得 令 ，并考虑到 ，则 记 ，从而有 从上面三种情况可见，问题扰动所引起解的扰动是被同一 个因子 控制的 定义