线性代数复习课件 矩阵.ppt

* 第二章 矩阵 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终，对矩阵的理解与掌握要扎实深入. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩 阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵，以及它们的性质. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律， 了解方阵的幂与方阵乘积的行列式.正确理解逆矩阵的概 念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件， 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.掌握矩阵 的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，正 确理解矩阵的秩的概念，熟练掌握用初等变换求矩阵的秩 和逆矩阵的方法.了解分块矩阵及其运算.必须会解矩阵 方程. * 概念 特殊矩阵 m×n个数aij (i = 1,2,…,m ; j =1,2,…,n) 构成的数表. 单位距阵:主对角线元素都是1,其余元素都是零的n阶方阵. 对角矩阵:主对角元素是 其余元素都是零的n阶方阵. 对称矩阵: 一、矩阵主要知识网络图 AT = A. 反对称矩阵: AT = －A. 矩阵 * 运算 A+B = ( aij + bij) kA= ( kaij ). AB = C 其中 A与B同型. 的第i行是A的第i列. |A|= detA ,A必须是方阵. 伴随矩阵 n 阶行列式的 |A|所有元素的代数余子式构成的矩阵. AT: AT 注意：矩阵加法与行列式分解的区别 注意：数乘与行列式提取公因子的区别 * 逆矩阵 概念 求法 证法 如果AB=BA=E,则A可逆， B是A的逆矩阵. 用定义. 用伴随矩阵 分块对角矩阵 |A| ≠ 0 , A可逆 . |A| = 0 , A不可逆 . AB = E , A与B互逆. 反证法. 初等变换法:（AE）初等行变换(EA-1) * 二、重要定理 1、设A、B是n阶矩阵，则|AB|=|A||B|. 2、若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一. 3、n阶矩阵A可逆? |A| ≠ 0; ? R(A) = n; ? A为满秩矩阵. 4、若AB = E( 或BA =E ), 则B = A-1 . 6、若A为对称矩阵，则AT ＝A . 7、若A为反对称矩阵，则AT＝－A . * 三、重要公式、法则 1、矩阵的加法与数乘 (1) A + B = B + A ; (2) (A + B ) + C = A + ( B + C ); (3) A + O = O + A = A; (4) A + (-A) = O; (5) k(lA) = (kl)A ; (6) (k+l)A = kA+ lA ; (7) k( A + B )= kA + kB ; (8) 1A = A, 0A = O. 2、矩阵的乘法 (AB)C = A ( BC ) ; (2) A ( B + C ) = AB + AC; ( A + B ) C = AC + BC; (3) (kA)(lB) = (kl)AB; (4) AO = OA = O. * 注意：矩阵的乘积 问：何时能交换？何时能消去？ * 3、矩阵的转置 (AT)T = A; (2) (A+B)T = AT+BT; (3)(kA)T =kAT; (4) (AB)T = BTAT. 4、矩阵的逆 (A-1)-1 = A ; (2) (kA)-1 = k-1A-1 ; (3) (AB)-1 = B-1A-1; (4) (AT)-1 = (A-1)T . 5、伴随矩阵 (1) AA* = A*A = |A|E ; (2) (kA)* =kn-1A* ; (3) (A*)-1 = (A-1)*= |A|-1A; (4) (AT)* = (A*)T . 6、n阶方阵的行列式 |AT| = |A|; (2) |kA| = kn|A| ; (3) |AB| = |A||B| ; (4) |A-1| = |A|-1 ; (5) |A*| = |A|n-1 . * * * 可逆证法，逆矩阵求法：