概率论与数理统计第一章-5条件概率.pptVIP

§5 条件概率 Bayes公式的使用 我们把事件A看作某一过程的结果， P(Ai)=1/3，i=0,1,2 P(B|A0)=10/10=1, P(B|A1)=9/10 P(B|A2)=8/10 A0 0 1 2 A1 A2 正品 B 被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜色后再放回，若抽出白球则回答问题1；若抽出红球则回答问题2，罐中只有白球与红球，且红球的比率 是已知的，即 例8 (敏感性问题的调查) 学生考试作弊会严重影响学风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学生中所占比率P是一件难事，这里关键是要设计一个调查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个问题。 问题1：你的生日是否在7月1日之前？ 问题2：你是否在考试时作过弊？ P(红球)=π ， P(白球)=1-π 被调查者无论回答问题1还是问题2，只需在下面答卷上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投票箱内. 是 否 答案 ? 上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾， P(是)=k/n ， 这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题 1答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是否在7月1 日之前”的概率，一般认为是0.5，即 如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执行，那么就容易被调查者确信他（她）参加这次调查不会泄露个人秘密，从而愿意参加调查. 当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行统计.设有n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的概率是 ，可用频率 去估计，记为 P(是|白球）=0.5 另一种是摸到红球后回答问题2答“是”，这也是一个条件概率，即是考试作弊同学在全体学生中所占比率p ，即 P(是|红球)= p 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联系起来 P(是)=P(是|白球)×P(白球)+P(是|红球)×P(红球) 由此可获得感兴趣的比率 p = 该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 或者问: 四、贝叶斯公式 看一个例子: 接下来我们介绍为解决这类问题而引出的 贝叶斯公式 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率. 记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 求P(B1|A) 运用全概率公式 计算P(A) 将这里得到的公式一般化，就得到 贝叶斯公式 1 2 3 1红4白 ? 该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件A已发生的条件下，寻找导致A发生的每个原因的概率. 根据历史资料，每一原因发生的概率已知， 而且每一原因对结果的影响程度已知， 如果已知事件A已经发生，要求此时是由第 i 个原因引起的概率，则用Bayes公式 贝叶斯公式在实际中有很多应用. 它可以帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最可能原因. 例9 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005, P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}， 求 P(C|A). 概率论 概率论 条件概率 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，将此概率记作P(B|A). 一般地 P(B|A) ≠ P(B) P(B )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，B={掷出2点}， A={掷出偶数点}， P(B|A)=？ 掷骰子