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微分特性： ? 证明： 同理： 信号的描述 因此，有： 4A ?2 4A 9?2 4A 25?2 0 ? A(?) ?0 3?0 5?0 0 ? ?0 3?0 5?0 ? (?) A 2 ? 2 信号的描述 ， ， （2）复指数展开式 所以： 欧拉公式 信号的描述 按实频谱和虚频谱形式 幅频谱和相频谱形式 幅频谱图：| Cn | - ? 实频谱图： CnR - ? 虚频谱图： CnI - ? 相频谱图： ?n - ? 信号的描述 例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。 解： C-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, ?2, ?3, …） C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, ?2, ?3, … ） 信号的描述 1 x(t)=cos?0t 0 t 1 x(t)=sin?0t t 0 CnR 0 ? ?0 -?0 1/2 1/2 CnR 0 ?0 -?0 ? 0 ? ?0 -?0 1/2 -1/2 CnI CnI 0 ?0 -?0 ? |Cn| 0 ? ?0 -?0 1/2 1/2 |Cn| 0 ? ?0 -?0 1/2 1/2 An 0 ?0 ? 1 An 0 ?0 ? 1 单边幅频谱 单边幅频谱 双边幅频谱 双边幅频谱 负频率 “负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频 率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实 际的频谱函数。 从向量旋转的角度： 一个向量的实部可以 看成两个旋转方向相 反的矢量在其实轴上 的投影之和，虚部为 其在虚轴上的投影之 差。 A A/2 ?0 -?0 0 Re Im ? -? 负频率的说明 信号的描述 几点结论 复指数函数形式的频谱为双边谱（? 从 -? 到 +?），三角函数形式的频谱为单边谱（? 从 0 到 +?）。 两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系： 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数 一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。 信号的描述 综上所述，周期信号频谱的特点如下： 周期信号的频谱是离散谱； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数； 一般周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 ? 在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。 信号的描述 1.2.2 非周期信号的描述 瞬变信号例 参见下页 频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，是周期信号。 当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号。 一般非周期信号是指瞬变信号。 信号的描述 非 周 期 信 号 准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱 瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零 准周期信号 x(t) 0 t x(t) 0 t 瞬变信号I 0 t x(t) 瞬变信号II （1）傅里叶变换 （fourier transform） 非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。 谱线无限靠近，变为连续谱 。 谱线长度： 此时根据傅里叶级数展开所表示的谱线失去意义。 信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含总能量应当不变。 无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的频谱依然存在。 信号的描述 设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为 其中： T0??时，?? = ?0 ?0，n?0 ? ?，Cn?0。 但 Cn?T0 存在： 信号的描述 Cn表示n?0（即?）处的频谱值，而 反映了单位频带的频谱值（?0为谱线间隔），称为非周期信号的频谱密度(spectrum density)函数，简称频谱函数，它反映了信号能量沿频域的分布状况。 若以 的值为高、以间隔?0为宽画一个小矩形，则该小矩形的面积等于? = n?0频率处的频谱值Cn(n?0)。 信号的描述 Cn 信号的描述 傅里叶变换（FT） 傅里叶逆变换（IFT） 以 代入得 记为： x(t) X(?) FT IFT 信号的描述 用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为 非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。 为信号幅值的量纲。 为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。 信号的描述 例：矩形窗函数的频谱 W(f)中 T 称为窗宽， 1 -T