第4章 学案17.docVIP

学案17　同角三角函数的基本关系式及诱导公式 导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x. 自主梳理 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：___________________________. (2)商数关系：___________________________. 2．诱导公式 (1)sin(α＋2kπ)＝____________，cos(α＋2kπ)＝____________， tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z. (2)sin(－α)＝__________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝__________. (3)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝__________. (4)sin(π＋α)＝__________，cos(π＋α)＝__________，tan(π＋α)＝__________. (5)sin＝__________，cos＝________.(6)sin＝________， cos＝__________. 3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为： 上述过程体现了化归的思想方法． 自我检测 1．(2010·全国Ⅰ改编)cos 300°＝________. 2．(2009·陕西改编)若3sin α＋cos α＝0，则的值为________． 3．(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝，则sin α＝________. 4．cos(－)－sin(－)＝________. 5．已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝________. 探究点一　利用同角三角函数基本关系式化简、求值 例1　已知－x0，sin x＋cos x＝. (1)求sin2x－cos2x的值； (2)求的值． 变式迁移1　已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值． (1)；(2)sin2α＋sin 2α. 探究点二　利用诱导公式化简、求值 例2　(2010·安徽合肥三模)已知sin＝－，α∈(0，π)． (1)求的值； (2)求cos的值． 变式迁移2　设f(α)＝ (1＋2sin α≠0)，则f＝________. 探究点三　综合应用 例3　在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角． 变式迁移3　是否存在角α，β，其中α∈(－，)，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝cos(－β)，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 转化与化归思想 例　(14分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝. (1)求tan α的值； (2)把用tan α表示出来，并求其值． 多角度审题　由sin α＋cos α＝应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，应当切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可，(2)需要把弦化成切． 【答题模板】 解　(1)联立方程 由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.[2分] ∵α是三角形的内角，∴，[4分] ∴tan α＝－.[7分] (2)＝＝＝，[10分] ∵tan α＝－，∴＝＝＝－.[14分] 【突破思维障碍】　 由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应注意“1”的活用． 【易错点剖析】 在求解sin α，cos α的过程中，若消去cos α得到关于sin α的方程，则求得两解，然后应根据α角的范围舍去一个解，若不注意，则误认为有两解． 1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围． 2．注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．注意“1”的灵活代换． 3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断． (满分：90分) 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．(2011·苏州月考)cos(－)的值是________． 2．已知tan α＝－，且α为第二象限角，则sin α的值等于________． 3．已知f(α)＝，则f(－)的值为________． 4．(2011·连云港调研)设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 010)＝－1，则f(2 011