导数与不等式2013.3.6.docVIP

导数与不等式 1．解不等式 2．单调与不单调问题 3．求参数的取值范围 4．证明函数不等式 例1．．的单调区间； （2）若，求不等式的解集．解：, 由,得 . 因为 当时,； 当时,； 当时,； 所以的单调增区间是:； 单调减区间是: . （2）由, 得：. 故：当 时, 解集是：；当 时，解集是：；当 时, 解集是：. 例2．（2009年浙江卷文）已知函数 ． （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围． 解析：（Ⅰ）由题意得． 又 ，解得，或． （Ⅱ）函数在区间不单调，等价于导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有，即：， 整理得：，解得． 解题策略: 函数在某区间上不单调，可以转化为在给定区间上有变号零点，可以通过求函数值域的方法解决，也可以利用根的分布方法解决． 例3．（2005 年全国卷（III）第22题）已知函数 （Ⅰ）求的单调区间和值域； （Ⅱ）设，函数 使得成立，求a的取值范围. 解：（I）对函数求导，得 令解得 当变化时，的变化情况如下表： 0 （0，） （，1） 1 － 0 + －4 －3 所以，当时，是减函数；当时，是增函数. 当时，的值域为[－4，－3]. （II）对函数求导，得 因为，当时， 因此当时，为减函数，从而当时有 又即时有 任给，，存在使得， 则即 解①式得 ；解②式得 又，故a的取值范围为 评注 给定函数, 及区间，则对于任意的，总存在，使得成立 成立． 在主干条件“函数,”不变的前提下，下面对本题第二问作如下变式： 变式 1 若存在，使得成立，求的取值范围． 分析 给定函数及区间，则存在, ，使得成立成立．因为由原题解答知当时，，，故对于本例而言应有, 又，解得． 变式 2 若存在 ，使得成立，求的取值范围． 分析 存在,使得成立,时，，由此可知可知本变式解答应如下：，解得或，因，故得. 评注 “存在，使得时，成立”与本变式类型不同． 变式3 若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围 分析 对任意，总存在，使得成立函数在上的最小值大于函数在上最小值．由此可知本变式解答应如下：，即, 又，故得. 变式 4 若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围． 分析 对任意，总存在，使得成立函数在上的最大值小于函数在上最大值．由此可知本变式解答应如下：，即，得，又，故． 变式 5 若对任意 ，都有成立，求的取值范围． 分析 对任意及任意，都有成立函数在上的最大值小于函数在上最小值，故对本何应有，即，解得，又，所以的取值集合为． 变式 6 若对任意，使得成立，求的取值范围． 分析 对任意及任意，都有成立函数在上的最小值大于函数在上最大值，故对本例应有，即，解得，满足，所以. 评注 “当时，恒成立当时，；当 时，恒成立当时，”与本变式类型不同． 变式7 若存在，使得成立，求的取值范围： 分析 存在, ，使得成立 成立，故对本例应有 即解得，所以． 变式 8 对任意的，都成立，求的取值范围． 分析 对任意及任意，都成立 成立，故对本例应有, 即所以的取值集合为． 变式9 对任意，都成立，求的取值范围． 分析 对任意, 都成立成立，故对本例应有 ，即，又，所以的取值集合为． 例4. （2010年湖北卷）已知函数 (＞0)的图象在点处的切线方程为. (Ⅰ)用表示； (Ⅱ)若在上恒成立，求的取值范围； (Ⅲ)证明：1+++…+＞+)(≥1). 解：（Ⅰ） ，则有，解得 (Ⅱ)由（Ⅰ）知， 令，． 则，． (ⅰ)当时,, 若,则,是减函数,所以． 即,故在上不恒成立. (ⅱ) 当时,, 若,则,是增函数,所以，即, 故当时,. 综上所述,所求的取值范围为． (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,有, ()． 令,有，且当时, ． 令,有， 即, ． 将上述个不等式依次相加得 ， 整理得． 例5.【理·2010安徽卷第17题】设为实数，函数． （Ⅰ）求的单调区间与极值； （Ⅱ）求证：当＞且＞时，＞． 第一问很常规，我们直接看第二问．首先要构造一个新函数，如果这一着就想不到，那没辙了．然后求导，结果见下表． ，继续对求导得． 减 极小值 增 由上表可知，而 ，由＞知, ＞，所以＞，即在区间上为增函数． 于是有＞，而， 故＞，即当＞且＞时，＞． 1① ②