概率论与数理统计-第三章管理.ppt

chapter 3 * 令 原式= 即Z~N(0,2). X~N(0,1),Y~N(0,1)X+Y~N(0+0,1+1) chapter 3 * 定理3.3 两个独立的正态随机变量之和仍然服从正态分布. 推论：有限个独立的正态随机变量的线性函数仍是 正态分布随机变量. chapter 4 * 5. Z=M=max{X,Y}的分布 FZ(z)=P{Z≤z} =P{max{X,Y}≤z} =P{X≤z,Y≤z } = F(z,z) 若 X与Y相互独立 ,则 若 Z为连续型随机变量 ,则Z=max{X,Y}的密度函数为 若X与Y的联合分布函数为FX(x,y).则 Z=max{X,Y}的分布函数为 * chapter 3 chapter 4 * 6.N=min{X,Y}的分布 若X与Y的联合分布函数为F (x,y).则 Z=min{X,Y}的分布函数为 =P{min{X,Y}≤z} 或FZ(z) =P{Z≤z}=1-P{Zz} = 1-P{Xz,Y z}. * chapter 3 chapter 4 * 若 X与Y相互独立 ,则 若 Z为连续型随机变量 ,则Z=min{X,Y}的密度函数为 FZ(z) = 1-P{Xz,Y z} = 1-P{Xz}.P{Y z} =1-[1-FX(z).][1-FY(z)] =1-[1- P{X≤z}].[1-P{Y≤z }] = FX(z)+FY(z)- FX(z)FY(z) * chapter 3 chapter 3 * §3.7 二维正态分布 定义3.11：设有二维随机向量(X,Y),如果其概率密度为 为常数, 称（X，Y）服从二维正态分布. 其图像对称轴为X,Y平面上过(μ1, μ2)且与竖轴平行的直线.参见右图.(教材p.101.) chapter 3 * 定理3.4 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布. 证： chapter 3 * chapter 3 * 同理，可求出fY (y). 则 由此，可得如下结果 chapter 3 * 定理3.5 设(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立的充要条件是参数ρ＝0. 证：（1）充分性.由ρ=0，代入（3-58）式，得 所以，X与Y独立. chapter 3 * X与Y独立,则对任意x,y,有 特别地,令 x=μ1,y= μ2,则有 带入式（3-58）， （3-59）， （3-60）得 于是， * chapter 3 chapter 3 * 定理3.6 则X与Y的非零线形组合仍服从正态分布. * chapter 3 chapter 3 * 且X与Y相互独立，易得 注意： ab≠0时有 如果少了独立的条件，上述结论不一定成立. * chapter 3 * 7 chapter 3 * D 当|x| ≤ 1时, 因此, 同理,关于Y的边缘密度为 边缘分布不是均匀分布. chapter 3 * 例 7 设二维随机向量(X,Y)服从区域D上的均匀分布, 解: 0 y 1 x D 1 chapter 3 * 0 y 1 x D 1 y=x2 y=x chapter 3 * §3. 4 随机变量的独立性 定义3.7 :设X,Y为两个随机变量,如果对于任意的实数x和y, 事件 “X≤x”和“Y≤y”都独立, 若X和Y的联合分布函数为F(x,y),X和Y的分布函数分别为 即 P{X≤x,Y≤y}= P{X≤x} P{Y≤y} 则称随机变量X与Y相互独立. chapter 3 * 定理3.1 设(X,Y)为离散型随机变量,其概率分布为 1.离散型R.V.独立的充要条件 证明见教材p85. chapter 3 * 2.连续型R.V.独立的充要条件 定理3.2 设(X,Y)为连续型随机向量,其概率密度为f(x,y),关于X和Y的边缘分布密度分别为 即联合密度等于两个边缘密度的乘积. 推论:独立的随机变量的连续函数也独立. 如:X与Y独立,则X2与Y2也独立. chapter 3 * 补例1 二维随机向量（ X1 , X2 ）的联合分布由下表确定，判断X1与X2是否独立？ X1 0 1 7/15 7/30 7/30 1/15 X2 0 1 又 P{X2=0}= P{X1=0,X2=0}+ P{X1=1,X2=0 }= 7/15 + 7/30 =0.7 类似可以算出 P{X1=0}=0.7 显然P{X1=0,X2=0}≠ P{X1=0} · P{X2=0} 因此X1与X2不独立. 解：由