机械动力学课件应用.ppt

阻尼自由振动——欠阻尼 * 阻尼固有频率： 阻尼自由振动周期： T0：无阻尼自由振动的周期 阻尼自由振动的周期大于无阻尼自由振动的周期 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 阻尼大，则振动衰减快，阻尼小，则衰减慢 阻尼自由振动——欠阻尼 * 评价阻尼对振幅衰减快慢的影响 与 t 无关，任意两个相邻振幅之比均为 振幅衰减的快慢取决于ζ 减幅系数 定义为相邻两个振幅的比值： 阻尼自由振动——欠阻尼 * 减幅系数： 含有指数项，不便于工程应用。实际中常采用对数衰减率 ： 阻尼自由振动——欠阻尼 * 实验求解 利用相隔 j 个周期的两个峰值进行求解 得： 当 较小时（ ） 阻尼自由振动——过阻尼 * 第二种情况：过阻尼（ ） 动力学方程： 特征根： 两个负实数的特征根： 通解： c1、c2：初始条件决定 令： 两个线性无关解： 阻尼自由振动——过阻尼 * 通解： 设初始条件： 则： 一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 响应图形 阻尼自由振动——临界阻尼 * 第三种情况：临界阻尼（ ） 动力学方程： 特征根： 二重特征根： 只能得到一个特解： 而初始条件为两个： 通解： 阻尼自由振动——临界阻尼 齐次常系数微分方程的解（重特征根情况） * 带入 可以得到特征方程： 假设特征方程有k重根λ= λ1 （1） λ1 = 0，即特征方程有因子λk，则特征方程可以写为： 阻尼自由振动——临界阻尼 * 特征方程： 常微分方程： k个线性无关解： 阻尼自由振动——临界阻尼 * （2） λ1 ≠ 0，做变量变换 ，则常微分方程变换为： 将 带入微分方程 可以得到特征方程： 阻尼自由振动——临界阻尼 * 将 带入微分方程 可以得到 两个特征方程之间的关系： “ 有k重根0” 阻尼自由振动——临界阻尼 * “ 有k重根0”，则 有特解： 因此 有特解： 因此动力学方程有特解： 动力学方程 有二重特征根 阻尼自由振动——临界阻尼 * 通解： 则： 也是按指数规律衰减的非周期运动 临界阻尼系数 设初始条件： 响应图形 阻尼自由振动 * t x(t) 三种阻尼情况比较： 欠阻尼 过阻尼 临界阻尼 欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动 过阻尼是一种按指数规律衰减的非周期蠕动，没有振动发生 临界也是按指数规律衰减的非周期运动，但比过阻尼衰减快些 阻尼自由振动 * 例：阻尼缓冲器 要求静载荷 P 去除后质量块越过平衡位置的位移为初始位移的 10％ 求： 缓冲器的相对阻尼系数 k c x 0 x0 P m 平衡位置 阻尼自由振动 * 设初始条件： 求导 ： 设在时刻 t1 质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为： k c x 0 x0 P m 平衡位置 阻尼自由振动 * 由题知 解得： 即经过半个周期后出现第一个振幅 x1 阻尼自由振动 * 例： 刚杆质量不计 求： （1）写出运动微分方程 （2）临界阻尼系数，阻尼固有频率 小球质量 m l a k c m b 阻尼自由振动 * 解： m 广义坐标 力矩平衡： 受力分析 l a k c m b 阻尼自由振动 * 解： 阻尼固有频率： 无阻尼固有频率： 谢 谢！ * * * * * * 无阻尼自由振动 * 撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有： 则自由振动振幅为 ： 梁的最大扰度： m h 0 l/2 l/2 x 静平衡位置 无阻尼自由振动 * 例：圆盘转动 圆盘转动惯量 I 在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置 扭振固有频率 为轴的扭转刚度，定义为使得圆盘产生单位转角所需的力矩 由牛顿第二定律： 无阻尼自由振动 由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述完全相同。如果在弹簧质量系统中将 m、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的 * 无阻尼自由振动 从前面两种形式的振动看到，单自由度无阻尼系统总包含着惯性元件和弹性元件两种基本元件，惯性元件是感受加速度的元件，它表现为系统的质量或转动惯量，而弹性元件是产生使系统恢复原来状态的恢复力的元件，它表现为具有刚度或扭转刚度度的弹性体。同一个系统中，若惯性增加，则使固有频率降低，而若刚度增加，则固有频率增大 * 无阻尼自由振动 * 例：复摆 刚体质量 m 对悬点的转动惯量