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高中数学圆的基本知识与分类练习
高中数学——圆
一.基本知识之关于圆的方程
1. 圆心为,半径为的圆的标准方程为:.特殊地,
当时,圆心在原点的圆的方程为:.
2. 圆的一般方程,其中.
圆心为点,半径,
3. 二元二次方程,表示圆的方程的充要条件是:
①项项的系数相同且不为,即;②没有项,即;③.
. 过圆:与圆:
交点的两圆公共弦所在直线方程是二.基本知识之关于直线与圆的位置关系
将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式为,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则直线与圆的位置关系满足以下关系:
位置关系 相切 相交 相离 几何特征 代数特征
直线截圆所得弦长的计算方法:
①利用弦长计算公式:设直线与圆相交于,两点,
则弦;
②利用垂径定理和勾股定理:(其中为圆的半径,直线到圆心的距离).
3. 圆与圆的位置关系:设两圆的半径分别为和,圆心距为,则两圆的位置关系满足以下关系:
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 几何特征 代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
三.分类例题练习
1. 关于圆的方程:
例1:求满足下列各条件圆的方程:
(1)以,为直径的圆; (2)与轴均相切且过点的圆;
(3)求经过,两点,圆心在直线上的圆的方程;
()求与圆外切于点,且半径为的圆的方程2. 关于点和圆的位置
例2:(1)已知点在圆的内部,求的取值范围.
(2)直线与直线的交点在圆上,求的值.
已知直线与圆相交,问点的圆位置关系如何?
. 圆上的点的用法
例:(1)已知实数、满足方程.分别求,,及的最大值和最小值.
(2)平面上两点、,在圆:上取一点,求使取得最小值时点的坐标.
(3)圆上到直线的距离为的点共有个(4)求圆上的动点到直线距离的最小值. 关于直线和圆的位置
例:(1)求圆在点处的切线方程.
(2)求过点的圆的切线方程.
(3)已知直线过点,当直线与圆有两个交点时,其斜率的取值范围.
(4)已知直线:与曲线:有两个公共点,求的取值范围.
(5)已知直线:和圆; 时,证明与总相交; 取何值时,被截得弦长最短,求此弦长.
. 关于圆与圆的位置
例:(1)判断两圆和(为参数)的位置关系.
(2) 已知圆:与:相交于两点,求公共弦所在的直线方程;求圆心在直线上,且经过两点的圆的方程;
求经过两点且面积最小的圆的方程.
6. 关于对称问题
例6:(1)求圆关于原点对称的圆的方程.
(2)求圆关于直线对称的圆的方程.
(3)点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射,反射光线与圆相切,求光线l所在直线方程.
(4)直线与圆交于、两点,且、关于直线对称,弦的长7.关于轨迹例7:()已知为原点,定点,点是圆上一动点.
求线段中点的轨迹方程;设的平分线交于,求点的轨迹方程.
()过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线,M为上任意一点,再过M作圆的另一切线,切点为Q,当点M在直线上移动时,求三角形MAQ的垂心的轨迹方程.
(3)已知圆,是轴上的动点,QA,QB分别切圆M于A,B两点,
求动弦AB的中点P的轨迹方程.
()过圆内一点作一弦交圆于两点,过点分别作圆的切线,两切线交于点,求点的轨迹方程
(2)或
(3)
(4)
2.解:(1); (2); (3)圆外
3.解:(1); (2),; (3)3个; (4) 2.
4.
解:(1) ; (2) 或; (3);
(4) ;
(5) ①直线:在圆有与总相交
5.
解:(1)相交
(2) ①公共弦所在的直线方程;圆心在直线上,且经过两点的圆的方程;
经过两点且面积最小的圆的方程.
6.解:(1); (2)
(3)和;(4)
7.解:(1)①线段中点的轨迹方程;设的平分线交于,点的轨迹方程:
(2),去掉与轴的交点.
(3)
(4)
圆的复习之4—1
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