2014年中考数学分类汇编：综合-规律试题.doc

规律探索试题 1. （2014?安徽）观察下列关于自然数的等式： 32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 根据上述规律解决下列问题： （1）完成第四个等式：92﹣4×　　2=　　； （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性． 解：（1）32﹣4×12=5 ① 52﹣4×22=9 ② 72﹣4×32=13 ③ … 所以第四个等式：92﹣4×42=17； （2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1， 左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1， 右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1． 左边=右边 ∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1． （2014?漳州）已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是　．（用含n的代数式表示） 【解析】解；已知一列数2，8，26，80．…，按此规律，则第n个数是 3n﹣1，故答案为：3n﹣1． （2014?白银）观察下列各式： 13=12 13+23=32 13+23+33=62 13+23+33+43=102 … 猜想13+23+33+…+103=　　． 分析： 13=12 13+23=（1+2）2=32 13+23+33=（1+2+3）2=62 13+23+33+43=（1+2+3+4）2=102 13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552． 解答： 解：根据数据可分析出规律为从1开始，连续n个数的立方和=（1+2+…+n）2 所以13+23+33+…+103=（1+2+3…+10）2=552． （2014?兰州）为了求1+2+22+23+…+2100的值，可令S=1+2+22+23+…+2100，则2S=2+22+23+24+…+2101，因此2S﹣S=2101﹣1，所以S=2101﹣1，即1+2+22+23+…+2100=2101﹣1，仿照以上推理计算1+3+32+33+…+32014的值是　 【解析】解：设M=1+3+32+33+…+32014 ①， ①式两边都乘以3，得 3M=3+32+33+…+32015 ②． ②﹣①得 2M=32015﹣1， 两边都除以2，得 M=， 故答案为：． （2014?天水）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（　（10.5，﹣0.25）　）． 解：y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）， OA1=A1A2=1，P2P4=P1P3=2， P2（2.5，﹣0.25） P10的横坐标是2.5+2×[（10﹣2）÷2]=10.5， p10的纵坐标是﹣0.25， 故答案为（10.5，﹣0.25）． （2014?梅州）如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是　（8，3）　；点P2014的坐标是　（5，0）　． 解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， 当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）； ∵2014÷6=335…4， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹， 点P的坐标为（5，0）． 故答案为：（8，3），（5，0）． (2014年广东深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有　　． 解：第一个图形正三角形的个数为5， 第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17， 第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53， 第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161， 第五个图形正三角形的个数为161×3+2=485． 故答案为：485． （2014?珠海）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为　　． 解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1， ∴AA1=OA=1，OA1=OA=； ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8． 故答案为：8． （2