高一数学学思想与方法.doc

第一课 集合中蕴含的数学思想与方法（2课时） 【教学目标与要求】 理解和掌握有关整数集问题中的枚举探究法 理解和掌握数形结合思想和分类讨论思想在集合中的应用 理解和掌握检验与验证思想 【教学过程】 对于有关整数集问题中的“枚举”探究法（含向后原则与方法）。 例1：若集合，则A中的元素是_______。 解1：（枚举向后原则）有 解2：理解整除意义：知，即 例2：已知集合，判断M与N的关系，并说明理由。 解1：枚举知 解2：理解集合相等的含义： 总有 反之，设， 若，总有，故 例3：写出集合的所有子集。 解：（按元素个数和元素向后的顺序），略写出。 数形结合思想在集合中，图示法即韦恩图与数轴的应用。 例4，若，则（ A ） A， B， C， D， 例5：已知全集，且,若，，则下列结论中正确的是（ B ） A， B， C， D， 说明：例4，例5说明了：韦恩图适合于抽象集合或元素个数有限的集合问题的研究。 例6：设全集,已知，求 解：利用数轴有： 例7：若，当时，a的取值范围是 a4 ;当时，a的取值范围是 。 说明：对于实数集或其子集的集合问题，利用数轴能直观地反映出其本质。 例8：设集合，且 ，，则a= -2 ,b= 4 解：借助数轴，有a= -2,b= 4 集合中的“分类讨论思想”。 例9：已知且有，求a的值。 解：知,由 即方程无解、有2解、有3解， 例10：已知且有，求m,n的值。 解：由题意知：或 解得：（舍）， 或 例11：已知。 解1：枚举知中元素为5,17,29，…，归纳有 解2：（讨论k被3整除的情况） 对于集合A，其元素为， ，则 当 当 当 综上： 注：有时各种思想在交替使用中。 检验与验证思想。 由于集合的互异性等性质，在考虑问题时，无法判断是否存在，因此对集合的某些问题要加以检验与验证，如例10中，m=0,n=1 例12：已知，且有，求B 解： 经检验：只有时满足， 第二课 命题和充要条件中蕴含的数学思想与方法（1课时） 【教学目标与要求】 理解和掌握命题中“等价转换”与“举反例”的思想与方法。 理解和掌握充要条件中的“化归”与“等价代换”的思想与方法。 【教学过程】 命题形式中的“等价转换”与“举反例”的思想方法。 原命题与它的逆否命题是等价命题，它们同真或同假。 举反例是证明一个命题为假命题的行之有效的基本方法。 例1：“若x5，则x3”是 假 命题（填“真”或“假”） 解：假命题，举反例如：x=4 例2：判断命题“若a与b的积不是有理数，则a、b中至少有一个不是有理数”的真假，并说明理由。 分析：对于“否定性”的命题有时不易直接回答，则考虑与其等价的逆否命题，转化为否定性命题，加以判断。 解：与之等价的逆否命题是：“若a、b都是有理数，则a与b的积是有理数”。 证明如下： 则有 注：等价转换还有其他的形式，命题与其逆否命题是其中最直接的方式之一。 充要条件中的“化归”与“等价代换”的思想与方法。 例3：（1）已知 （2）已知 （3）已知 试问：的什么条件？ 解：（1） （2） （3） 试问你能推出（3）中的的充要条件吗？ 解：由 由递推关系的传递性知：且 例4：求二次方程有一根为1的充要条件。 解：由必要性知：该方程有一根为1，代入方程得：， 反之，当即，带入原方程得： ，即 故二次方程有一根为1的充要条件是 第三课 不等式中蕴含的数学思想与方法（2课时） 【教学目标与要求】 理解和掌握作差比大小方法和中间量比较的方法，数轴的直观比较法。 理解和掌握比大小中的分类讨论的思想方法。 【教学过程】 作差比较大小的方法。 如何比较两个式子的大小的方法，其方法与基本步骤： 即作差分解因式或配方取定符号，得出大小。 例1：若a0，b0, ,比较的大小 解： （讨论a b0与b a0） 当a b0时， 当b a0时， 综上， 例2：已知函数，，当m0时，判断a,b,c的大小关系。 分析：代入特殊值，通过试算有abc 解：， ， 则 故有：当且仅当时，两处不等号同时取等号。 与中间量比较的方法。 比大小，最基本最常用的是作差法，有时有一定的困难，可以根据题设条件将这两个数式与第三个数式（姑且称为中间量）比较，这个中间量当然要选得适当，即运用了不等式的传递性来比较。 例3：如果那么M,N,P,Q从小到大的排列为________ 解： 又 例4：已知 解：由 只要比较与和与的大小即可 再比较 故 三，借助数轴，直观刻画两实数的大小。 如在例4中： 解：由在数轴上对应的点关于原点对称，它们在数轴上的位置如图： 例5：已知a0,b0且，比较四个数的大小。 解：由已知有：在数轴上的位置如图： 四，分类讨论的思想。 如在例1中，为什么要