试验设计与建模-课后作业答案.docxVIP

从网页上下载“孟德尔豌豆试验”的故事和细节，并谈谈你的感受。基于线性回归模型（1.14），令随机误差ε～（0，σ2）。令预测误差r=y-,其中是预测值。证明：E(r)=0且r和的协方差矩阵为零矩阵，即r和相互独立；r～(0,σ2(I-H)),其中I为n×n的单位矩阵，H=GG′.解、（a）E(r)=E(y-)=E(Gβ+ε-G) =Gβ+E(ε)-GE() =Gβ-Gβ+0（是β的无偏估计) =0 Cov(r,)=Cov(y-,) =Cov(因ε、服从正态分布，而r是ε和的线性组合， 故而r也服从正态分布，由（1）知，E（r）=0 Var(r)=Var(y-)=Var(y-G)=Var(y-GG′y) =(I-GG′Var(y) =(I-H)σ2(H=GG′所以，r～(0,σ2(I-H))为研究纸张的抗张强度与纸浆中硬木的比例的相关性，现根据十次试验得到如下数据：抗张强度（y）160172176182184183188193195200硬木比例（x）10151520202025252830（a）、用一阶线性模型拟合硬木比例（x）与抗张强度（y）的上述数据；（b）、检验（a）中线性模型的显著性；（c）、画出残差点图，并估计模型中随机误差的方差。解、（a）设y与x之间的线性关系为, 由上数据易知：=20.8， =183.3，=38785，，==1.8417,=-=144.992 故此线性模型为y=1.8417x+144.992 (b)检验模型的显著性用F检验， ①原假设：：=0,:≠0 ②构造统计量F==216.24 ③取α=0.05，查表知（1,8）=11.26 ④因F=216.24=11.26,故拒绝原假设，≠0， 即有95%的把握认为抗张强度与硬木比例有关（c） 残差图如左图所示，可知模型拟合的很好，估计随机误差的方差Var（ε）≈1.601.4、在一元线性模型y=++ε中，一般假设响应y的方差固定，然而有些情形下该假设不一定成立。若y的方差依赖于x的水平数Var(y∣)=σi2=,i=1,2,…,n,式中σ2固定，权重是已知常数，考虑加权误差平方和，证明最小化该目标函数得到的和的估计值为下列方程组的解。解、误差平方和Q=最小，则必须满足条件而也即故而，得证1.5、设A=为n阶方阵，X=为n×n的矩阵，向量x=，证明设，则；设，其中tr（B）表示方阵B的迹，即矩阵B的对角元素之和，则。解、（a)由知，即=，所以==，得证（b）易知，则