43 相似矩阵与方阵的对角化.pptVIP

例1 （一）、对称矩阵的性质 （二）、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 作业 P138 A 10（几种方法） 13 14 (1) * * 一、 相似矩阵及其性质 §4.3相似矩阵与方阵的对角化 相似矩阵有相同的秩。 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 相似矩阵的性质： 矩阵的相似关系是一种等价关系！ 4. 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 证明 必要性： 二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 　　矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 充分性： 说明 　　　如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 推论 　　　如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化．（充分而不必要） 特征值-2，1（二重），相应特征向量： (-1,1,1)T, (-2,1,0)T, (0,0,1)T 定理4.6　实对称矩阵的特征值为实数. 证明 　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 三、实对称矩阵的对角化 于是有 两式相减，得 定理4.6的意义 证明 于是 定理4.7 定理4.8 如果n阶实对称矩阵A有m个不同的特征值 其重数分别为 则 4.8 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 5. 将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交阵P. 　　矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 相似矩阵有相同的秩。 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 1. 相似矩阵 三、小结 d) 性质： 2.　对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； 　 (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 3.　利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： 　 (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量正交化；(4)单位化．