41 多维随机变量及其分布.ppt

第四章 多维随机变量 1．定义： 设X1(ω),…,Xn(ω)为定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1, …,Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。  定义：若对任意xk∈R,k=1,2,…n,称ｎ元函数 (3) 二维随机向量(X,Y)可以看成平面上随机点的坐标。则(X,Y)分布函数F(x,y)=P{X ≤ x,Y ≤ y}在(X,Y)处的函数值就是随机点(x,y)落在如图所示的以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形闭区域上的概率。 (1).F(x,y)是变量x 和y的不减函数,即对于任意固定的y, 当x2x1时，F(x2,y)≥F(x1,y)；对于任意固定的x,当y2y1时，F(x,y2)≥F(x,y1)且 0≤F(x,y)≤1。 (2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0；  对于任意固定的x, F(x,-∞)=0； F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1。 (4).对于任意(x1, y1),(x2, y2)， x1x 2, y1 y2, 有： P{x1X ≤ x2, y1Y ≤ y2}= F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1) 如图 1．定义：  若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量. 若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为(Xi,Yj),i,j=1,2,… 记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,… 则称下列一组等式 P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…为随机向量(X,Y)的(联合)分布律. 常用表格表示(X,Y)的分布律： 例1: 设随机变量X在1，2，3，4四个数中等可能的任取一值，另一随机变量Y随机地在1—X中取值，求(X,Y)的联合分布率。 解： 1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有 (3).若f(x,y)在点(x,y)连续，则有 例1: 设(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=A(B+arctanx)(C+arctany/2)， -∞ x+∞ , -∞ y+∞ 求(1)常数A,B,C (2)求(X,Y)的联合概率密度。 解: （1）由分布函数的性质知 例2: 设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (3)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标.即有 {Y≤X}={(X,Y)∈G} 例4: 向一个无限平面靶射击,设命中点(X,Y)的有概率密度 f(x,y)=A / (1+x2+y2)2,求：(1)常数A；(2)命中点与靶心距离不超过r0的概率 . 解: (1)由概率密度的性质知 (2)依题意需求概率 (二)二维正态分布 定义: 若(X,Y)具有概率密度 例 若(X,Y)在D1上服从均匀分布，D1为x轴、y轴及直线y=2x+1所围。求: (X,Y)的概率密度与分布函数。 * * 第一节 多维随机变量及其分布 第二节 边缘分布 第三节 条件分布 第四节 随机变量的独立性 第五节 随机变量函数的分布 对于多维随机变量, 需要考虑①n维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； ②还要研究每个分量的概率分布； ③并且还要考察各分量之间的联系。 一、多维随机变量的定义 为随机向量(X1, …,Xn)的(联合)分布函数。 注释 (1) 事件{X1≤x1, …,Xn≤xn}是n个事件{Xk≤xk}同时发生的概率，故称为联合分布函数。 (2) F(x1,x2,…,xn)是普通的n元函数，这样，我们就把对随机向量的研究转化为对普通n元函数的研究。 二、多维随机变量的分布函数 2.二维分布函数的性质 (3).F(x, y)=F(x +0, y), F(x, y)=F(x, y +0), 即F(x, y)关于x右连续,关于y也右连续. 0 x1 x2 x y1 y2 y 三、二维离散型随机变量 X Y x1 x2 … xi … y1 p11 p21 … pi1 …y2 p12 p22 … pi2 …… …