216、导数的应用.pptVIP

同步训练 典型例题 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1．分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)，根据实际意义确定定义域； 2．求函数y＝f(x)的导数f′(x)，解方程 f′(x)＝0得出定义域内的实根，确定极值点； 3．比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； 4．还原到原实际问题中作答． 知识小结 同步训练 C 2、面积为S的一矩形中，其周长最小时的边长是 ______． 同步训练 1、已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间； (2)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由． 综合训练 (2)若函数f(x)在R上单调递减， 则f′(x)≤0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立． ∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的． 故函数f(x)不可能在R上单调递减． 若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈R都成立． ∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≤0对x∈R都成立． 而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4＞0，故函数f(x)不可能在R上单调递增． 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数． 2、设函数f(x)＝sinx－cosx＋x＋1， 0＜x＜2π，求函数f(x)的单调区间与极值． 综合训练 3、已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx－2的图象过点(－1，－6)，且函数g(x)＝f′(x)＋6x的图象关于y轴对称． (1)求m、n的值及函数y＝f(x)的单调区间； (2)若a＞0，求函数y＝f(x)在区间 (a－1，a＋1)内的极值． 综合训练 由f′(x)＞0得x＞2或x＜0， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)(2，＋∞)； 由f′(x)＜0得0＜x＜2， 故f(x)的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0得x＝0或x＝2， 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由此可得： 当0＜a＜1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值； 当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值； 当1＜a＜3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值； 当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值． 综上得：当0＜a＜1时，f(x)有极大值－2，无极小值； 当1＜a＜3时，f(x)有极小值－6，无极大值； 当a＝1或a≥3时，f(x)无极值． * 导数在研究函数中的应用 考纲要求： 1、了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； 2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 3、会利用导数解决某些实际问题． 知识回顾 f′(x)0 f′(x)0 f′(x)＝0 一、函数的单调性与导数 1、函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系： (1)若 ，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 ，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 ，则f(x)在这个区间内是常数． 知识归纳 2、利用导数判断函数单调性的一般步骤． (1)求 ； (2)在定义域内解不等式 ； (3)根据结果确定f(x)的单调区间。 f′(x) f′(x)0或f′(x)0 知识归纳 f′(x)＜0 f′(x)＞0 知识归纳 二、函数的极值与导数 1、函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)＞0 f′(x)＜0 知识归纳 2、函数的极大值 函数y＝f(