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216、导数的应用
同步训练 典型例题 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1.分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x),根据实际意义确定定义域; 2.求函数y=f(x)的导数f′(x),解方程 f′(x)=0得出定义域内的实根,确定极值点; 3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值; 4.还原到原实际问题中作答. 知识小结 同步训练 C 2、面积为S的一矩形中,其周长最小时的边长是 ______. 同步训练 1、已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex (x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间; (2)函数f(x)是否为R上的单调函数,若是,求出a的取值范围;若不是,请说明理由. 综合训练 (2)若函数f(x)在R上单调递减, 则f′(x)≤0对x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都成立. ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都成立. ∴Δ=(a-2)2+4a≤0,即a2+4≤0,这是不可能的. 故函数f(x)不可能在R上单调递减. 若函数f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0对x∈R都成立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0对x∈R都成立. ∵ex>0,∴x2-(a-2)x-a≤0对x∈R都成立. 而Δ=(a-2)2+4a=a2+4>0,故函数f(x)不可能在R上单调递增. 综上可知函数f(x)不可能是R上的单调函数. 2、设函数f(x)=sinx-cosx+x+1, 0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值. 综合训练 3、已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (1)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (2)若a>0,求函数y=f(x)在区间 (a-1,a+1)内的极值. 综合训练 由f′(x)>0得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0)(2,+∞); 由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2). (2)由(1)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2, 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 由此可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(0)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值; 当a=1或a≥3时,f(x)无极值. * 导数在研究函数中的应用 考纲要求: 1、了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次); 2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3、会利用导数解决某些实际问题. 知识回顾 f′(x)0 f′(x)0 f′(x)=0 一、函数的单调性与导数 1、函数f(x)在某个区间(a,b)内的单调性与其导数的正负有如下关系: (1)若 ,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若 ,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若 ,则f(x)在这个区间内是常数. 知识归纳 2、利用导数判断函数单调性的一般步骤. (1)求 ; (2)在定义域内解不等式 ; (3)根据结果确定f(x)的单调区间。 f′(x) f′(x)0或f′(x)0 知识归纳 f′(x)<0 f′(x)>0 知识归纳 二、函数的极值与导数 1、函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在x=a附近其它点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. f′(x)>0 f′(x)<0 知识归纳 2、函数的极大值 函数y=f(
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