3-7解析函数与调和函数的关系71146.pptVIP

§3.7 解析函数与调和函数的关系 1、解析函数的虚部为实部的共轭调和函数 注 2、反之实部不一定为虚部的共轭调和函数 用共轭的两个调和函数构造一个复函数是否解析？ 解析函数的构建方法 由以上知，如果在区域 D 内任选两个调和 函数 u(x,y),v(x,y)，则函数 u+iv 在区域 D 内不一 定是解析函数.只有当 u 和 v 还满足相应的 C- R 条件, 对应函数 u+iv 在区域 D 内才解析(而 v+iu 却不一定解析). 由此提供了构成一个解析函数的 方法，即由一个调和函数，利用柯西－黎曼条件 可求出另一个与之共轭的调和函数，再由这一对 共轭调和函数构建出一个解析函数. 已知一个调和函数,要构成一个解析函数 的具体方法如下:(1)不定积分法;（2）全微分法; （3）利用导数公式;（4）曲线积分法. 注意：作此类题时，首先一定要验证给定 的函数是否是调和函数.下面分别以四种方法来说 明解析函数的构建方法.具体解题时选其中最简单 的方法即可. 1.不定积分法 解: 首先验证 u(x,y) 是否为调和函数, 容易得到: 故 u(x,y) 为调和函数, 因此只需找到它的共轭 调和函数 v(x,y) , 即可构建解析函数.由C- R条件得 再由 C- R 条件得: 从而: 由此得: 由 f (0)=0 得 c=0，最后得: 注：结果用 z 表示,不用 x, y 表示！ 2.全微分法 解 易证函数 u(x,y) 是调和函数.根据 C- R 条件 因此: 由条件 f (0)=0,故得到： 3．利用导数公式 解 易证函数 u(x,y) 为调和函数. 要构建解 析函数 f (z)，故其导数存在，且 将上式两边对 z 积分得： 由条件 f (0)=0 得: 4. 曲线积分法 首先给出曲线积分法的理论： 因为v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数，所以 v(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数，从而是 可微的，故有全微分 设 (x0 ,y0)为D内一个定点，(x,y) 为D内任一点， c为任意常数，可得 可证该积分与路径无关。 解 首先容易验证给定函数u(x,y) 是调和函数. 根据C- R条件 若积分路径选为(0,0) →(x,0) →(x,y), 则得到: 根据条件f (0)=0 故得: . (0,0) (x,y) (x,0) 练习： 作业：