北京远程教育网络教育学院高等代数作业(2012 年 秋 季 学 期 )数学答案.docVIP

高 等 代 数 作 业 解 答 （2012 年 秋 季 学 期 ） 第一章 行 列 式 教材习题 1.4 （2） 第 2 题 教材习题 1.5 第 4(2) 题 计算下列行列式中所有元素的代数余子式之和 解：除反对角线上的元素外，其余元素的代数余子式中都有一行或一列的元素全为0，故这些元素的代数余子式均为0。所以，D的全部元素的代数余子式之和，等于 D 的反对角线上元素的代数余子式之和： 教材习题 1.6 第 1(3) 题 第 6 题 计算2n阶行列式 D= 解: D＝ ＝＝ 复 习 题 1 第 4 ， 6 ， 7 题 第4题 计算行列式 D= 解: = = = 第6题 ----- 计算n阶行列式 D= 解： ＝ （第n列分别加到第1列，第2列，至第列） ＝ （对第1列展开） ＝ ＝ 解法 2： 第 7 题： 计算行列式 第二章 线 性 方 程 组 教材习题 2.1 用 Cramer 法则解下列线性方程组 由此求得 =-1, 代入第1个方程, 求得 . 再由第2个方程求得 ,由第3个方程求得 , 由第5个方程求得 . 教材习题 2.2（1) 解下列线性方程组 (1) 解:对方程组的增广矩阵进行初等行变换: = 由这个约化梯阵,可得解: . 教材习题 2.5 （2） 第 3 题 现证明 由 线性表出的表法唯一： 用反证法。设表法不唯一，则可有两种不同的表达式 及 ， 将两式相减，得 ， 但 线性无关，则 , 即 。 所以， 由 线性表出的表法唯一。 教材习题 2.5 （3） 第 4 题 5. 教材习题 2.7（1） 第 3 题 教材习题 2.7 （2） 第 1 题 求下列齐次线性方程组的一个基础解系,并用基础解系表出方程组的全部解 （2） 解：对齐次方程组的系数矩阵进行初等行变换： 同解方程组 一般解： （ 为自由未知量 ） 取 得 取 得 取 得 是齐次方程组的基础解系 。齐次方程组的全部解为 （ ） 教材习题 2.7 （3） 第 2 题 线性方程组 复 习 题 2 第 1 (1) , 2 (1) ，10 题 1. 用基础解系表示出下列方程组的全部解 （1） 解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换 于是 ， ，则方程组的导出组的基础解系 有两个独立解。 原方程组的同解方程组： 一般解为： （ 为自由未知量） 取 ，得非齐次线性方程组的特解 ： 导出组的一般解为 取 分别为 （1，0） ，（0，1） 得导出组的基础解系 ： 故方程组的全部解 2、讨论?a , b 取什么值时下列线性方程组有解，并在有解时求出全部解。 . 第 10 题 证法2：已知向量组与向量组有相同的秩，即 ，且可由线性表出。欲证可由线性表出，为此，考虑向量组 （ I ） 因可由线性表出，那么向量组（ I ）可由线性表出。又因是向量组（ I ）的部分组，则可由向量组（ I ）线性表出。于是向量组（ I ）与等价，等价的向量组有相同的秩，从而 。取向量组的极大线性无关组，则它也是向量组（ I ）的线性无关部分组。但向量组（ I ）的秩也为，那么从向量组（ I ）中任取一个向量，则，线性相关。因线性无关，故可由线性表出。于是 向量组（ I ）中的任一个向量均可由线性表出，由于与等价，所以向量组（ I ）可由线性表出，从而与向量组（ I ）等价的可由线性表出。于是向量组与向量组等价。 矩 阵 教材习题 3.2 第 2 题 设,其中是阶方阵，求证： 证：对子矩阵 的个数S用数学归纳法： 当S=2时， 分别为阶，阶方阵 由P54例6的证明