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第十章 正弦稳态分析 * * 从本章开始，研究线性动态电路在正弦电源激励下的响应。线性时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，只剩下正弦稳态响应。电路中全部电压电流都是角频率为ω的正弦波时，称电路处于正弦稳态。满足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或正弦稳态电路。 正弦稳态分析的重要性在于： 1. 很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电力系统的大多数电路。 2. 用相量法分析正弦稳态十分有效。 3. 已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以得到任意波形信号激励下的响应。 主要内容： 10－1 正弦电压和电流 10－2 正弦稳态响应 10－3 基尔霍夫定律的相量形式 10－4 RLC元件电压电流关系的相量形式 10－5 正弦稳态的相量分析 10－6 一般正弦稳态电路分析 10－7 单口网络相量模型的等效 10－9 正弦稳态响应的叠加 §10－1 正弦电压和电流 一、正弦电压电流 图10-1 按照正弦规律随时间变化的电压(或电流)称为正弦电压(或电流)，它是使用最广泛的一种交流电压(电流)，常称为交流电，用AC或ac表示。常用函数式和波形图表示正弦电压和电流，例如振幅为Im,角频率为ω，初相位为?i的正弦电流的函数表达式如式(10－1)所示，其波形图如图所示。 (a) 初相?0的情况 (b) 初相?=0的情况 (c) 初相?0的情况 上式中的Im是正弦电流的最大值，称为正弦电流的振幅(取正值)。上式中的ω表示每单位时间变化的弧度数，称为正弦电流的角频率，其单位为弧度/秒(rad/s)。由于正弦量的一个周期对应2?弧度，角频率与周期T 和频率f的关系为 我国供电系统使用的正弦交流电，其频率f=50Hz(赫兹)，周期T=1/f=20ms。式(10－1)中的(ωt+?i)称为正弦电流的相位，其中?i =(ωt+?i)|t=0是t=0时刻的相位，称为初相。初相的取值范围通常在-?到+?之间，其数值决定正弦电流波形起点的位置。 图10-1 (a) 初相?0的情况 (b) 初相?=0的情况 (c) 初相?0的情况 已知振幅Im ，角频率ω和初相?i，就能够完全确定一个正弦电流，称它们为正弦电流的三要素。与正弦电流类似，正弦电压的三要素为振幅Um，角频率ω和初相?u，其函数表达式为 由于正弦电压电流的数值随时间t变化，它在任一时刻的数值称为瞬时值，因此式(10－1)和(10－2)又称为正弦电流和正弦电压的瞬时值表达式。 例10-1 已知正弦电压的振幅为10伏,周期为100ms,初相为 ?/6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。 解：先计算正弦电压的角频率 正弦电压的函数表达式为 正弦电压波形如图所示。 图10-2 二、同频率正弦电压电流的相位差 正弦电流电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量，我们分析这些电路时，常常需要将这些正弦量的相位进行比较。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差，用?表示。例如有两个同频率的正弦电流 电流i1(t)与电流i2(t)之间的相位差为 上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等于它们初相之差，与时间t无关。相位差?的量值反映出电流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系。 电流i1(t)超前于电流i2(t) 电流i1(t)滞后于电流i2(t) 图10-3 当? =?1 -?20时，表明i1(t)超前于电流i2(t)，超前的角度为?，超前的时间为?/ω。当? =?1 -?20时，表明i1(t)滞后于电流i2(t)，滞后的角度为|?|，滞后的时间为|?|/ω。图(a)表示电流i1(t)超前于电流i2(t)的情况，图(b)表示电流i1(t)滞后于电流i2(t)的情况。 同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况。 1. 同相:如果相位差?=?1-?2=0,称电流i1(t)与电流i2(t)同相，如图(a)所示； 2. 正交:如果相位差?=?1-?2=??/2，称电流i1(t)与电流i2(t)正交，如图(b)所示，图中电流i1(t)超前电流i2(t)一个?/2 或90°； 3. 反相:如果相位差?=?1-?2=??，称电流i1(t)与电流i2(t)反相，如图(c)所示。 图10-4 (a) 同相 b) 正交 (