保险精算学课件(第二部分内容)_.pptVIP

保险精算学 延边大学理学院数学系 主讲教师：姜今锡 教材 指定教材 杨静平，寿险精算基础，北京大学出版社 参考资料 王晓军等，保险精算学，中国人民大学出版社，1995。 范克新，保险精算学教程，南京大学出版社。 茆诗松等，概率论与数理统计，中国统计出版社，2000。 §1.3 岁个体的生存分布 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.1 基本的计算公式 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 §1.3.2 一些国际通用精算表示法 * 一个刚出生的个体生存至x岁，记此时的个体用符号(x)表示，假设x为整数。个体(x)的未来生存时间为一随机变量，记为 ，则 。 又记 的整数部分为 ，小数部分为 则 同时， 的分布函数、生存函数及密度函数分别用 表示。 其中X 表示新生个体的生存时间。 的死亡力 定义如下： □定理1.3.1 随机变量 的密度函数 （1.3.3） 生存分布为 （1.3.4） 新生个体与x岁时个体的死亡力之间有如下关系 （1.3.5） ■定理证明: (i)对 表达式两边同时对t求导，得到 (ii) 下证（1.3.5）式。事实上，利用（1.3.3）式，（1.3.2）和 的定义，可得 (iii) 证明关系式（1.3.4） 所以由（1.3.2）式可知等式（1.3.4）成立，即 下面求x岁个体的分布函数和密度函数，即 ■例1.3.1 设密度函数为 其中 为参数，求 。 ■例1.3.2 设生存分布函数为 □定理1.3.2 假设除了个体的年龄和个体是否死亡为已知外，个体的其他信息均未知。x岁的个体生存了t 年后，其再继续生存时间的分布和x+t岁个体的未来生存时间的分布相同，即 ■定理证明: 对 ，有 定理结论得证。 1） : 个体(x)活过年龄x+t岁的概率，即(x)至少再活t年的概率； 2） : 个体(x)未来t年内死亡的概率； 3） : 个体(x)在年龄段（x+u,x+u+t]死亡的概率，即(x)活过x+u岁，但在接下来的t年内死亡的概率。 ◆ 注明 从定义中可以看出： □定理1.3.3 （1）生存概率 （2）对 生存概率与死亡概率有如下的关系： （3）对 ，有 （4） ■定理证明: (1) (2)由 的定义可知 又由条件概率公式和定理1.3.2，有 （3）对 ， （4）对公式1.3.4两边对t求导数，即 其次，对关系式（1.3.6）两边对t求导数，有 定理得证。 定理1.3.3结论说明，当给定了生存函数时，使精算中一些概率的求解变得非常简便。 □例 1.3.3 已知生存函数 计算 和 。 □解 □例 1.3.4 已知当 时， 计算 和