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五类斜面问题 山东省蒙阴第一中学物理组 张维昌（276200） 在牛顿运动定律和运动学公式的应用中，关于物体在光滑斜面上的下滑时间问题，在全国、上海市高考题中曾有考查，在实际中也有重要意义。根据斜面的特点，本文将分成五类斜面讨论分析有关物体下滑时间的长短规律： 问题：物体由静止开始，从光滑斜面的顶端滑至底端，试比较下滑时间的长短。 第一类斜面：等高的斜面，如图1。 第二类斜面：同底的斜面，如图2。 第三类斜面：同圆周且同顶端的斜面，如图3，即在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的顶端都在竖直圆周的最高点，底端都落在该圆周上某点。 第四类斜面：同圆周且同底端的斜面，如图4，即在竖直面内的同一个圆周上，各斜面的底端都在竖直圆周的最低点，顶端都源自该圆周上的某一点。 第五类斜面：同双圆周的斜面，如图5，即在竖直面内两个圆，两圆心在同一竖直线上且两圆相切。各斜面过两圆的公切点且顶端源自上方圆周上某点，底端落在下方圆周上的相应位置。 解析：该问题属于比较型问题。虽然各类斜面特点不同，但物体的运动性质都相同，即都做初速度为零的匀加速直线运动，只要推出下滑时间的通式，再根据各类斜面特点分析即可。设任意斜面的长度为L，倾角为θ，如图6。 对物体受力分析，由牛顿第二定律得： mgsinθ=ma ① 又由运动学公式得： L=at2 ② 由①②式得： ③ 1．对于第一类斜面，设公共高为h，则 ④ 由③④式得： ⑤ 所以，θ↑→t↓ 故图1中：t1＞ t2＞ t3 2．对于第二类斜面，设共同的底为d，则 ⑥ 由③⑥式得 ⑦ 所以 规律：（1）θ=45°时，t最短； （2）关于45°对称的角，t相等，t与θ的关系可用图7表示。 故图2中：t1= t3＞t2 应用举例：假设雨水在房屋瓦面上的流动可近似看作物体在光滑斜面上的运动，则为了使雨水尽快流下，如图8所示，房屋顶角设计合理的是 由上述解析知，正确选项为C。 3．对于第三类斜面：作辅助线，见图3，则有： L=2Rsinθ ⑧ 由③⑧式得： ⑨ 由⑨式知：t与θ无关，只决定于R、g。 故图3中：t1= t2= t3 4．对于第四类斜面：解法同第三类斜面，结果相同 即 ⑩ 故图4中：t1= t2= t3 应用举例：（04年全国高考题）如图9所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速度为零），用t1、t2、t3依次表示滑环到达d所用的时间，则： A．t1 t2 t3 B．t1 t2 t3 C．t3 t1 t2 D．t1 = t2 = t3 答案：D 5．对于第五类斜面：应是第三类和第四类斜面的组合，解法相似，结果为： 故图5中：t1= t2= t3 综合上述五类斜面问题，相信读者再遇到类似问题，便可迎刃而解了。 3 60° 30° 45° 图1 15° 30° 15° 图2 1 图3 θ O 3 2 1 R θ R 1 2 3 O O1 图4 R1 O2 2 θ 3 图5 R2 L 图6 θ t O 图7 120° 150° 90° B 60° C D 图8 A d c b a 图9 1 2 3 1 2 3