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3.1.3 Z变换研究系统性能时应注意的问题 11. 复域卷积 3.3　　Z反变换 从Z域函数F(z)求时域函数f*(t)，叫做Z反变换。 获取的只是在采样瞬时值上的时间序列，F(z)的反变换只是单值的f(k)而不是单值的f(t)。 　　记作 部分分式法 　　　部分分式展开法是将F(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查Z变换表找出相应的f*(t)。因Z变换表中Z变换函数分子普遍有因子Z，所以应将F(z)/z展开成部分分式。 对于单个极点的情形： 3.　用留数方法 例 已知z变换函数 试求其z反变换。 解： 因为 所以 e*(t)=e(0)?(t)+e(T)?(t-T)+e(2T)?(t-2T)+… =0+(1-e-aT)?(t-T)+(1-e-2aT)?(t-2T)+(1-e-3aT)?(t-3T)+… 查表得 e(t)=1(t)-e-at 则 e(nT)=1-e-anT * 远程教育学院 第三章 计算机控制系统的数学基础 3.1 Z变换 3.2 Z变换的性质和定理 3.3 Z反变换 本章思考题 3.1 差分方程 保持器为零阶保持器 在该周期下，系统输出为 本系统差分方程！！ 差分方程的定义 对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时刻的输出值 C(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有关，还与过去的输出值c(k-1)、 c(k-2)…有关。可以把这种关系描述如下： n—系统的阶次 n—系统的第k个采样周期 线性定常系统差分方程的一般形式 3.1 Z变换 3.1.1 Z变换的定义 对其进行拉氏变换： 此式称为采样函数 的Z变换。 F（z)是 的Z变换，记作 F(z)=z[f*(t)]= z[f(t)] 3.1.2 Z变换的方法 1、级数求和法 例1 求1*（t）的Z变换 。 例2 求 的F(Z)。 例3 单位斜坡函数 注意到 例4 多项式函数 2、部分分式法 例 求解 的Z变换 。 例 求解 的Z变换 。 解：设 利用部分分式法求系数A1、A2、A3 例 求 3 留数法 为F(s)的n1个单极点 为F(s)的n-n1个重极点，n1为阶数 例：求 的z变换。 例：求 的z变换。 1 z变换是建立在加权脉冲序列的基础上的，计算机控制系统中的信号应该满足理想化条件，即脉冲宽度应远远小于采样周期。 不能确定采样 时刻之间的信息。 当连续对象的脉冲响应不为零时，会产生跳跃性的输出曲线。 3.2 Z变换的性质和定理 1 线性性质 如果 则 2 求和性质（叠加性质） 证明：注意到 两边取z变换 式中 令m=k-n, 注意到m0时，f(mT)=0。 Z变换乘以z-n后，时间函数f(t)延迟了一段时间nT。 3 乘以ak后的z变换 4 实数平移定理 如果f(t)=0，对于t0。 证明： 例： 若f(0)=0 5 后向差分和前向差分 f(k)和f(k-1)之间的第一后向差分，被定义为 其z变换为 第二后向差分定义为 其z变换为 第m个后向差分为 其z变换为 f(k+)和f(k)之间的第一前向差分，被定义为 其z变换为 第二后向差分定义为 其z变换为 式中 通常，第m个前向差分为 其z变换为 6 复数平移定理 7 初值定理 如果f(t)有z变换F(z)，并且如果极限 存在，则f(t)或f(k)的初始值f(0)为 证明：由Z变换的定义有 例：如果f(t)的z变换由下式给出，试确定其