郑州大学软件学院《高等数学》(一)课程试题2009-2010学年第一学期(A卷).docVIP

郑州大学软件学院《高等数学》（一）课程试题 2009-2010学年第一学期（A卷） （适用专业：09级本科各专业 考试时间：120分钟） 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 分数 合分人： 复查人： 求下列极限（每小题5分，共20分） 分数 评卷人 1． 或 2. 3. 设 求. 解：因为 所以，不存在. 4. 二 求下列导数（每小题5分，共20分） 分数 评卷人 1.求 解； 2..求 解： 另解：由可得，即故 3.由方程所确定，求. 解：方程两边关于求导，得 ， 故 4.设，求. 解： 三．求下列积分（每小题5分，共20分） 分数 评卷人 1. 2. 3. 所以 4. 设求. 解： 分数 评卷人 四．试决定中的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.（10分）. 解： 令，得无二阶导不存在的点. 当时，当时， 经判断，易知当为曲线的两个拐点. 又易求得曲线在处的法线为： 曲线在处的法线为： 把：代入上述两条直线，得或 分数 评卷人 五．由所围成的图形，分别绕轴及轴旋转，计算所得两个旋转体的体积.（10分） 解：（一）绕轴 （二）绕轴 分数 评卷人 六．求微分方程的通解. （10分） 求方程在初始条件下的特解（10分）. 解：（一）求原方程所对应的齐次方程的通解 因为特征方程为：，所以，特征根为： 所以，齐次通解为： （二）设即 故 将代入原非齐次方程，得 从而求得 所以， （三）原非齐次方程的通解为： （四）代入初始条件，得， 所以， 分数 评卷人 七．（10分）设在区间上连续，且， 证明：（1）（2）方程在区间内有且仅有一个根. 证明：（1），所以在区间上严格单增. 故方程在区间上至多有一个根. (2).因为 所以，由根值定理知，方程在区间上至少有一个根. 综合上所述知，方程在区间上有且仅有一个根. 即方程 在内仅有一根. 第 1 页 共 5 页