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12.3 模拟方法---概率的应用 一、选择题 1．取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是(　　)． A. B. C. D.　　　 解析　把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为P＝＝. 答案　C 2．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为(　　)． A. B. C. D. 解析　面积为36 cm2时，边长AM＝6， 面积为81 cm2时，边长AM＝9，P＝＝＝. 答案　A A. B. C. D. 解析 因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的 所以符合几何概型的条件。 设A＝“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：25×25＝625 两个等腰直角三角形的面积为：2××23×23＝529 带形区域的面积为：625－529＝96 ∴　 P（A）＝　 答案　 A. B. C. D. 　，故蚂蚁停留在黑色地板砖上的概率是 答案　B 5．在面积为S的ABC的边上AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是(　　)． A. B. C. D. 解析　由ABC，PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，这是一个几何概型，P＝＝. 答案　C ．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．1－ C. D．1－ 解析　如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝＝1－. 答案　B ．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为(　　)．A. B. C. D. 解析　设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝＝. 答案　B 二、填空题 　 解析 连接AC交弧DE于P，则tan∠CAB= ，所以∠CAB=30°，当直线AP在∠CAB内时AP与BC相交，所以概率P= 答案 9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________． 解析　设A＝{小波周末去看电影}，B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，则P(D)＝1－＝. 答案　 ．已知平面区域U＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域U内随机投一点P，则点P落入区域A的概率为________． 解析　依题意可在平面直角坐标系中作出集合U与A所表示的平面区域(如图)，由图可知SU＝18，SA＝4，则点P落入区域A的概率为P＝＝.答案　 ．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________． 解析　由题意得Δ＝4a2－4b2≥0， a，b [0,1]，a≥b.∴画出该不等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为. 答案　 ．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为________．解析　如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在yOT内的概率为＝. 答案　 三、解答题 “体积比”公式计算其概率．取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则 P(A) 所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01. 14．已知关于x的一次函数y＝mx＋n. (1)设集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，求函数y＝mx＋n是增函数的概率； (2)实数m，n