国科大有限元-6.3 二维单元.pdf

§6.3 二维单元 对于二维问题，如果在其内部增加若干个节点(主要在单元的棱边上)，就可以选用二维高次多项 式进行位移函数的插值，即可得到高阶单元。下面分别就三角形单元和矩形单元进行讨论。 6.3.1 三角形高阶单元 因为三角形单元对于复杂的几何形状有良好的适应性，获得了广泛的应用。如同一维单元的情 况，可以利用笛卡儿坐标，也可以利用无量纲的自然坐标构造三角形单元的插值函数。利用笛卡儿 坐标构造三角形单元的插值函数时，需要通过矩阵求逆运算来确定插值函数中的各个系数，对于高 次单元，此运算比较麻烦，因此普遍应用自然(面积)坐标来直接构造一般三角形单元的插值函数。 对于三节点三角形单元，引入面积坐标Li Ai A i i, j,k 后，单元插值函数可以表示为 N i Li i i, j,k  (6.3.1) n f  n1 j   如将由N l    式引入的对 Lagrange 插值函数各个因子的几何解释推广于现在的 i i f  j 1,j i   j i 情况，则可以比较方便地利用面积坐标构造二次以及更高次的三角形单元。 1．二次单元 在原3 节点三角形单元的每一条边的中点再增加一个内部节点，则可以得到二次函数6 节点三 角形单元，如图6.3.1 所示。 6 节点三角形单元共有12 个节点位移自由度(DOF)，其节点位移列阵为 e T  u v u v    1 1 6 6  图6.3.2 自然(面积)坐标下的6 节点三角形单元 单元位移场的模式为(完整的二次多项式) 2 2 u x, y a a x a y a x a y a xy 1 2 3 4 5 6 241 若以自然坐标来表示，则单元位移场的模式为 u N u N u  N u 1 1 2 2 6 6 前面已得出 N 2L 1 L , N 2L 1 L 1  1  1 2  2  2 N 2L 1 L , N 4L L