第二轮复习-立体几何(含答案).docVIP

立体几何 D 4.如图，四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点． （1）证明：EF∥面PAD； （2）证明：面PDC⊥面PAD； （3）求四棱锥P—ABCD的体积． 解：如图，连接AC， ∵ABCD为矩形且F是BD的中点， ∴AC必经过F 又E是PC的中点， 所以，EF∥AP ∵EF在面PAD外，PA在面内，∴EF∥面PAD （2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD， 又AP面PAD，∴AP⊥CD 又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD 又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD （3）取AD中点为O，连接PO， 因为面PAD⊥面ABCD及△PAD为等腰直角三角形，所以PO⊥面ABCD， 即PO为四棱锥P—ABCD的高 ∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P—ABCD的体积 5.如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且 (Ⅰ)证明：⊥BD； (Ⅱ)假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角 的平面角的余弦值； (Ⅲ)当的值为多少时，能使平面？请给出证明。 解：（I）证明：连结、AC，AC和BD交于O，连结 ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC⊥BD，BC=CD 又∵ ， ∴ ，∴ ， ∵ DO=OB，∴ BD， 但 AC⊥BD，AC∩=O， ∴ BD⊥平面又 平面，∴ BD （II）解：由（I）知AC⊥BD，BD， ∴ 是平面角的平面角 在中，BC=2，，， ∴ ∵ ∠OCB=，∴ OB=BC=1∴ ， ∴ 即 作⊥OC，垂足为H ∴ 点H是OC的中点，且OH， 所以 （III）当时，能使⊥平面 证明一： ∵ ，∴ BC=CD=， 又 ， 由此可推得BD= ∴ 三棱锥C- 是正三棱锥 设与相交于G ∵ ∥AC，且∶OC=2∶1， ∴ ∶GO=2∶1 又 是正三角形的BD边上的高和中线， ∴ 点G是正三角形的中心， ∴ CG⊥平面即 ⊥平面 证明二： 由（I）知，BD⊥平面， ∵ 平面，∴ BD⊥ 当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形， 同BD⊥的证法可得⊥ 又 BD∩=B，∴⊥平面 6. 如图所示，等腰△ABC 的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记 V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积. （1）求V(x)的表达式； （2）当x为何值时，V(x)取得最大值？ 解: (1)即 (2),时, 时, 时取得最大值. 7. （10浙江 理20）如图，在矩形中，点，分别在线段，上，，沿直线将翻折成，使平面平面． （Ⅰ）求二面角的余弦值； （Ⅱ）点，分别在线段，上，若沿直线将四边形向上翻折，使与重合，求线段的长． 解：（Ⅰ）取的中点，由，得．又平面平面，则平面．过作于，连结，则．∴为二面角的平面角． 由，，． （Ⅱ）设，则．又由（Ⅰ）易知：， 由，即，解得，． 8. （09四川 理19）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设线段的中点为，在直线上是否存在一点， 使 得平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角的大小． （09四川 文19）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）设线段、的中点分别为、，求证：平面； （Ⅲ）求二面角的大小． 解法1：（Ⅰ）因为平面平面， 平面平面，平面，且， 所以平面．所以． 因为为等腰直角三角形，，所以． 又因为，所以，即， 又交于，所以平面． （Ⅱ）取的中点，连结．设为中点，于是，且，又，且，从而．连，则为平行四边形，故．因为在平面内，不在平面内，所以平面． （Ⅲ）由，平面平面，因此平面，作，交的延长线于，则．从而平面，作于，连结，则由三垂线定理知，．因此，为二面角的平面角．设，则，．． 在中，，，． 在中，．故二面角的大小为． 解法2为等腰直角三角形， ，所以．又因为平面平面，平面，平面平面，所以平面．． 因此，，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系． 不妨设，则，，， ，． 因为，，所以．从而，． 所以，，． ，．所以， ． 因为平面， ，所以平面． （Ⅱ），取．从而． 于是，所以， 又平面，直线不在平面内，故平面． （Ⅲ） 设平面的一个法向量为，并设．， 即 取，则，， 从．取平面的一个法向量为，则．由图易知，所求二面角的大小为锐角，故二面角的大小为． 解法3：（Ⅰ）同解法1． （Ⅱ）