轨迹问题2.docVIP

8.5 轨迹问题 ●知识梳理 本节主要内容是轨迹的概念及轨迹方程的求法.求轨迹方程常用的方法：（1）结合解析几何中某种曲线的定义，从定义出发寻找解决问题的方法；（2）利用几何性质，若所求的轨迹与图形的性质相关，往往利用三角形或圆的性质来解问题；（3）如果点P的运动轨迹或所在曲线已知，又点Q与点P之间的坐标可以建立某种关系，则借助点P的轨迹可以得到点Q的轨迹；（4）参数法. ●点击双基 1.动点P到直线x=1的距离与它到点A（4，0）的距离之比为2，则P点的轨迹是 A.中心在原点的椭圆 B.中心在（5，0）的椭圆 C.中心在原点的双曲线 D.中心在（5，0）的双曲线 解析：直接法. 答案：B 2.（2005年春季北京，6）已知双曲线的两个焦点为F1（－，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是 A.－=1 B.－=1 C.－y2=1 D.x2－=1 解析：设双曲线的方程为－=1.由题意||PF1|－|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2. 又∵|PF1|·|PF2|=2，∴a=2，b=1.故双曲线方程为－y2=1. 答案：C 3.已知A（0，7）、B（0，－7）、C（12，2），以C为一个焦点作过A、B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是 A. y2－＝1（y≤－1） B. y2－＝1 C. y2－＝－1 D. x2－＝1 解析：由题意｜AC｜＝13，｜BC｜＝15， ｜AB｜＝14，又｜AF｜＋｜AC｜＝｜BF｜＋｜BC｜， ∴｜AF｜－｜BF｜＝｜BC｜－｜AC｜＝2. 故F点的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线下支.又c=7，a=1，b2＝48， 所以轨迹方程为y2－＝1（y≤－1）. 答案：A 4 (2005重庆卷)已知，B是圆F：(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为________________。 答案： 5.已知△ABC中，B（1，0）、C（5，0），点A在x轴上方移动，且tanB+tanC=3，则△ABC的重心G的轨迹方程为________________. 解析：设A（x0，y0）， ∵tanB+tanC=3，∴－=3， 点A的轨迹方程为y0=－（x02－6x0+5）（x0≠1且x0≠5）.若G（x，y）为△ABC的重心，则由重心坐标公式：x=，y=，∴x0=3x－6，且y0=3y.代入A点轨迹方程得G的轨迹方程为y－1=－（x－3）2（x≠且x≠）. 答案：y－1=－（x－3）2（x≠且x≠） ●典例剖析 【例1】（2007北京文19） 如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上． （I）求边所在直线的方程； （II）求矩形外接圆的方程； （III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程． 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直， 所以直线的斜率为． 又因为点在直线上， 所以边所在直线的方程为即． （II）由解得点的坐标为， 因为矩形两条对角线的交点为． 所以为矩形外接圆的圆心． 又． 从而矩形外接圆的方程为． （III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切， 所以， 即． 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支． 因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长． 从而动圆的圆心的轨迹方程为． 【例2】（江西卷）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. （1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 解：（1）设切点A、B坐标分别为， ∴切线AP的方程为： 切线BP的方程为： 解得P点的坐标为： 所以△APB的重心G的坐标为 ， 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ∴ 同理有 ∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为： 即 所以P点到直线BF的距离为： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②当时，直线AF的方程： 直线BF的方程： 所以P点到直线AF的距离为： 同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 【例3】（辽宁卷）已知椭圆的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （Ⅰ）设为点P的横坐标，证明； （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程； （Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是