常见求三角函数值域的类型.docVIP

常见求三角函数值域的类型 教师在处理题目时，不要只是就题论题，要通过这个题目让学生学会分析问题的方法，通过练习总结解题规律及方法，通过练习总结解题规律及方法，如通过解题总结三角函数最值的方法，利用三角函数的有界性，通过换元把三角函数最值问题转化成一般函数求最值问题，但要注意换元后新变元的取值范围。解题过程中体现了数学思想，教师注意引导学生分析解题思路。正、余弦函数都是有界函数，求以、为未知数的三角函数的值域时，首先要关注其自身的取值范围，否则很容易出错。 对于三角函数的值域，常见求值域的类型： 一、型 例1：已知函数，求函数的值域。 解析： 函数的值域为 点评：利用三角函数的值域，需注意对字母讨论。 二、型 例2：已知函数，求函数的值域。 解： 函数的值域为 点评：借助辅助角化成的形式，利用有界性解决。 强调： 三、型 例3：已知函数，求函数的值域。 思路点拔：配成关于的二次函数再结合的有界性求解。 解析： 函数的值域为 点评：化成同名三角函数，通过配方后转化为二次函数的最值，应注意的约束。 练习：求的值域（答案：） 四、型 例4：已知函数，求函数的值域。 解： 时， 函数的值域为 点评：可以先降幂，整理转化为一次形式。 五、型 例5：已知函数，求函数的值域。 解析：由，得  ，得函数的值域为 点评：反解出，化归为解决。 六、型 例6、已知函数，求函数的值域。 解析：可理解为点与点连线的斜率， 点 在单位圆上，如图所示， 故满足， 设过点的直线方程为即 由原点到直线的距离不大于半径1，得，解得 函数的值域为 点评：化归为型或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义） 七、型 例7、已知函数，求函数的值域。 解析： 函数的值域为 点评：令，则可转化为求的最值，利用函数的单调性求解原函数的值域。 八、型 例8：已知函数，求函数的值域。 解析：令，则 即 由二次函数图象可得 函数的值域为 点评：常用换元法，令，，最终转化为关于的二次函数在限定区间内的最值问题。 练习：已知，求函数的值域。 九、型 例9：已知函数，求函数的值域。 解析：因为 - 当时， 由正弦函数图像易得， 故所求的函数的值域为。 点评：利用降幂公式和二倍角公式进行转化，最终可化为的形式。 方法指导：配方法、化一法、逆求法、有界性等是求三角函数值域常用的几种方法，相信会从此题的求解过程中领悟到这一点。