人教版高中数学《等比数列前n项和》教学案例.docVIP

等比数列前n项和教学案例 　 一、教案描述 教学目标 1、通过探索等比数列前n项和公式的推导方法培养学生观察问题、分析问题的能力。 2、掌握等比数列前n项和公式并能灵活运用基本概念和公式解决简单的问题，锻炼学生的数学思维能力。 3、通过故事情景的发生、发展过程，自主探索一般结论，培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。 重点与难点 重点：推导并掌握等比数列的前n项和公式 难点：由研究等比数列的结构特点，探索等比数列的前n项和公式。 教学过程 1、问题引入 印度有个发明家发明了国际象棋，国王玩了以后很高兴，于是决定奖励这个发明者，发明家没有向国王要金银珠宝，他的要求是让国王在棋盘上放麦粒，但是要求在第一个格里放一颗，第二格里放2颗，第三个格子里放4颗，依次下去，后面的格子里放的麦粒是前一格的两倍，棋盘共有64格，国王一听笑了，连忙答应。请你想一想国王能否满足发明家的要求？ 教师活动：展示投影 学生：阅读投影内容，思考讨论，探索解决的办法。 师：棋盘上格子里的麦粒数分别为1，2，4，……263，这个数列的特点是？ 生：公比为2的等比数列 师：棋盘中共需要麦粒数为：1+2+4+…+263，这个属于什么问题？ 生：等比数列前64项求和问题。（已学过等差数列求和，回答的很好） 师：大家能得出这个结果是多少吗？也好让国王有个准备（学生笑） 学生议论纷纷，相互讨论，得不到一般性的结论，有学生提出，如果象等差数列那样有个公式就好了。 师：（看到学生陷于被动，作了提示）我们今天这节课的主要内容就是来学习如何求等比数列前n项和的问题。如果这个问题能解决，那么刚才这个问题就属于求前64项和的一个特例了。根据等差数列的求和公式：大家对等比数列的前n项求和公式有什么预期？ 生：估计可以用首项、末项，公比和项数来表示 2、引入正题 师：很好，下面我们把问题一般化。（复习等比数列定义） 板书：一般地，设有等比数列a1，a2，a3，an前项和为： 师：我们希望得到一个类似于等差数列求和公式的结果，那么就应该去掉求和中的许多中间项，大家有办法做到这一点吗？ 经过小组讨论、总结，有一组学生作出如下推导过程： 生：= 师：（当即表扬学生）这个推导过程很好的体现了我们刚才的思路，充分运用了等比数列概念和作差相减这一技巧，成功的消除了中间项，得到了预期的结果，相当精彩…… 生：（教师话没讲完，有学生提出）：当时怎么办？ 生：q=1时属特殊情形，数列为常数列，每一项都相等，所以 师：很好，现在大家觉得我们该如何表达等比数列求和公式的结果？ 生：应综合上述两点，分类讨论，写成分段函数： na1 q=1 Sn= q≠ 师总结：这种方法很重要，由于设法消去了中间项，使得含有n项的求和公式变成仅含几项的式子，从而使问题得到解决，这种方法称为：”错位相减法”。而公式本身则体现了数学中的分类讨论的思想。 师：等比数列求和公式是否还有其他推导方法呢？ 此时学生思维比较活跃，想到等差数列中叠加方法，写出如下式子： 可惜接下去学生停住了 师：等式的左边和我们的求和有什么关系？ 生1：少了一个 生2：所以左边可以用来表示 生3：那右边就是比少了一项，可用表示 生4：这样就可以得到式子：接下来学生通过解方程顺利的得到了结果： na1 q=1 Sn= q≠1 3、巩固新知，深化拓展 教师总结：1、公式分q=1与讨论 2、变形 3、在公式中，共有5个变量，我们可以用方程思想做到知三求二 4、解决情景问题 经过计算，棋盘上的麦粒数为264-1颗，假定千粒麦子重40克，则总重量超过了7000亿吨，据查，目前世界年产小麦约6亿吨，大家想一想，国王能实现他的诺言吗？ 5、例题 例1、已知等比数列 （1）求前8项的和（2）求第5项到第8项的和 例2、等比数列中，已知求n与q 例3、若等比数列中，求q 设计意图：例1主要让学生熟悉公式，例2主要培养学生运用方程思想与计算能力，例3要提醒学生不要忘了q=1这个情形 6、小结 （1）等比数列求和公式及推导方法 （2）思想方法回顾 二、教案分析 1、在教学过程中创设教学情景，注意教师的导向作用和学生的主体作用。把课堂活动的重点放在如何调动学生的主动性，让学生观察、分析、归纳概括，主动探索新知识获得新知识。通过对题目多方位多角度的练习，突出重点。教学过程中我尽力引导学生成为知识的发现者，克服被动学习的情况。 2、本节课，本人从一段情景入手，引出等比数列前n项和公式的推导方法与计算公式，在教学中包含着许多的思想方法。如分类讨论的思想，方程的思想等。在课堂实施过程中，努力教给学生观察、思索、探究的的学习方法，通过疑问、暗示、课堂讨论