高中数学反思性教学模式探究案例——《平面向量基本定理和正交分解及坐标表示》的教学设计.docVIP

高中数学反思性教学模式探究案例——《平面向量基本定理和正交分解及坐标表示》的教学设计 　 前言：平面向量基本定理既是本节的重点也是本节的难点。平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量均可以表示为两个不共线向量的线性组合，这样，如果平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任意一个点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示，这是引进平面向量基本定理的一个原因。而平面向量的正交分解及坐标表示是平面向量基本定理的一个应用，同时也为平面向量的坐标表示奠定理论基础。 按照《浙江省普通高中新课程实验数学学科教学指导意见》建议《2.3.1平面向量基本定理》和《2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示》课时分配1课时。 一、课标解读： 1、课标要求： ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③通过本节内容的学习,认识平面向量基本定理是实现向量由几何形式过渡到代数形式的梁。培养观察、分析、归纳、抽象的思维能力。 2、学习目标： ①了解平面内任一向量用两不共线的向量表示出来的形成过程，掌握基底和两向量的夹角、垂直等概念； ②掌握向量的正交分解，在此基础上会用坐标表示向量。 3、学习策略： ①分解与合成是一个辩证统一的过程，平面向量基本定理的实质是把平面上的任一向量按某一组基底进行分解与合成的过程，在学习中要通过作图加以体会。 ②平面向量的正交分解有着丰富的物理背景，在学习的过程中要不断地和力、位移、速度的分解加以类比，培养自己的知识迁移能力。 ③通过本节内容的学习，要深刻体会知识与知识之间、事物与事物之间的相互联系和相互转化，不断提高反思、构建能力，领悟知识的形成、发展、应用过程。 二、教学过程： 1、情境创设：音乐是人们休闲时候的一种选择，不管是流行歌曲的通俗,摇滚歌曲的动感，还是古典音乐的高雅，都给了不同的人不同的享受。 不一样的音乐，不一样的感受。事实上，音乐有7个基本音符：Do Re Mi Fa Sol La Si,所有的乐谱都只是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此。 在多样的向量中，我们能否找到它的基本音符呢？ 2、合作探究： （1）探究（一）：平面向量基本定理 教学设计的背景：教科书上首先通过“思考”：给定平面内任意两个向量,让学生作出向量，进而让学生思考给定平面内任意两个向量，平面内的任意向量是否都可以用形如的向量表示，然后通过作图给出肯定的回答（没有给出详细的证明过程）。教学中可先让学生分析向量可能的位置关系，区分出共线和不共线两种情况，然后作出这两种情况下的。在此基础上，再进一步思考“平面内任一向量是否都可以用形如的向量表示”。通过作图验证共线时不能，不共线时总能的结论。 为了使学生更好地理解平面向量的基本定理，教学中先从平面几何中引入分解形式，通过作平行四边形的方法引入向量的分解。虽然向量的加法、数乘向量有非常坚实的物理背景，但当我们舍弃了这种背景而只从纯粹的数学的角度来看问题的话，上述考虑设计可使我们看到引进相应的向量运算的理由，这也可以使学生更容易接受并喜爱向量运算。 从前面的研究中我们发现任意一个平面向量都可以用两个不共线的向量表示取不同值时的图象特征，指出上述向量，a都为确定的向量，且不共线时，则实数存在且唯一。 引导学生证明当共线时，a与也是共线的，不能代表平面内所有的任意向量。 用几何画板演示说明： 基底可以任意选取，同一平面可以有不同的基底，就像平面上可选取不同的坐标系一样。只要两个向量不共线，就可以作为平面内所有向量的一组基底。平面内两个不共线的向量相当于“基本音符”，利用平行四边形法则和共线向量定理可以将平面内任一向量a用平面不共线的向量表示，这实际上也是向量合成的逆向思维。 （2）探究(二)：平面向量的正交分解及坐标表示 为了研究问题的方便，引进向量夹角的概念，两个非零向量的夹角在区间[0o，180o]上。两个向量的夹角中，垂直是一种特殊情形。 在物理学中，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面并压紧斜面的力F2。这样的分解有以下特点：在两个互相垂直方向上的分解，叫向量的正交分解。由平面向量基本定理知，它的实质是平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示，也可以看作是分解为两个不共线的向量，作一般到特殊的处理，即的分解。 用几何画板演示： 将向量放入坐标系，目的就是要与坐标联系，引导学生取两个互相垂直的基向量将向量进行正交分解。即将a分解为i，j，表示为a=xi+yj,由平面向量基本定理，x,y是唯一确定的，则a就唯一对应有序实数对（x,y）得到向量a的坐标。 设计例2要求学生用基底i，j表示a,b,c,d，其关键是