第十二章 期权定价的数值方法 金融工程课件.pptVIP

隐性有限差分方法 显性有限差分方法 显性方法计算比较直接方便，无需像隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用。但是，显性方法存在一个缺陷：它的三个“概率”可能小于零，导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效的。 变量置换： 在使用有限差分方法时，人们常常把标的变量 置换为　　　　。这样偏微分方程改为 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 有限差分方法还可以进一步推广到多个标的变量的情形； 在标的变量小于三个的时候，这一方法是相当有效率的； 但是超过三个变量时蒙特卡罗模拟方法就更有效了。 同时有限差分方法也不善于处理期权价值取决于标的变量历史路径的情况。 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。 答案：为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（8.4）到（8.6），可以算出： （结点处上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值） * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益率为14％，收益波动率为每年20％，时间步长为0.01年，则根据式（8.12）有 通过不断从标准正态分布样本中抽取 的值，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径。 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures）为期权定价，主要包括二叉树方法（Binomial Trees）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻。 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ； 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔 ，并假设在每一个时间间隔 内证券价格只有两种运动的可能： 2、下降到原先的 倍，即 相应地，期权价值也会有所不同，分别为 和 。 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 相同期限下步长越小 精确度越高 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 无套利定价法： 构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头 当 时,股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合 此时 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得 将 代入上式就可得到： 其中 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件： 假设证券价格遵循几何布朗运动，则： 再设定： （第三个条件的设定则可以有所不同， 这是Cox、Ross和 Rubinstein所用的条件） 由以上三式可得，当 很小时： 从而 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。 * Copyright? Zheng Zhenlong Chen Rong, 2008 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。 如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值； 如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点