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高考常考的超越函数—双曲函数 戴又发 双曲函数是工程技术中的一类常用函数，也是一类最重要的初等函数.尽管在高中数学 教学中没有对双曲函数进行系统学习，但随着课程改革的深入，双曲函数越来越成为高中生 研究性学习的重要对象，在很多高中数学辅导材料中也都能找到它的身影．近几年，在高考 数学试卷中双曲函数也常常成为命题的一个亮点. 一．定义 x x x x e e e e 我们定义函数sinh x 为双曲正弦函数．函数cosh x 为双曲余弦 2 2 x x e e 函数．函数 tanh x 为双曲正切函数． x x e e 并将它们统称为双曲函数． 二．双曲函数的图象与基本性质 x x e e 1．双曲正弦函数sinh x 的图象和基本性质 2 定义域： ； 值域： ； R R 单调性：增函数； 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称； 零点：x 0 ； 反函数：sinh1 x ln(x  1x 2 ) ． x x e e 2．双曲余弦函数cosh x 的图象和基本性质 2 定义域： ； 值域： ； R [1,) 单调性：在(,0) 上单调减函数； 在(0,) 上单调增函数； 奇偶性：偶函数； 最小值：1． x x e e 3．双曲正切函数tanh x 的图象和基本性质 x x e e 定义域： ； 值域： ； R (1,1) 单调性：增函数； 奇偶性：奇函数； 1 1 1x 反函数：tanh x ln 2 1x 三．重要关系 sinh x 1．商数关系：tanh x ； cosh x 2．平方关系： cosh2 x sinh2 x 1 3．加法公式：sinh(x y ) sinh x cosh y cosh x sinh y cosh(x y ) cosh x cosh y sinh x sinh y tanh x  tanh y