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学科：高等数学 第四章 不定积分 知识点49 不定积分的分部积分法 相关概念、公式定理或结论 ● 定义 ** ● 定理 ** ● 结论 ** 考频：4 知识点49 配套习题 arcsin x 例49.1(难度系数0.2)  dx . x 解析：分部积分,设法将反三角函数求导，变成 积分的函数. arcsin x  1 1  解： dx  2arcsin x d x  2  x arcsin x  x dx  x  1x 2 x  1  2 x arcsin x  dx  2 x arcsin x  2 1x  C . 1x 妙招：分部积分的十二字口诀 分部积分一般是两种函数的乘法组合，对其中一种积分，对另一种求导.那么 如何选择哪一种积分、哪一种求导呢？有一个十二字的口诀“反对幂指三，前导 后积莫乱来”，前半句指的是五类初等函数：“反”指反三角函数，“对”指对数函数 ，“幂”指幂函数，“指”指指数函数，“三”指三角函数.当两类函数排在一起时，排在 相对前的用来求导，排在相对后的用来积分. ln cos x 例49.2(难度系数0.2)  2 dx . cos x 解析：按照口诀，对三角函数积分，对对数函数求导.对数函数求导后 积分. 解：原式 ln cos xd(tan x)   tan x ln cos x  tan2 xdx  tan x ln cos x  (sec2 x 1)dx    tan x ln cos x  tan x x  C . arctan ex 例49.3(难度系数0.4，2001年考研高数一真题) 求 2x dx . e 解析：按照口诀，对指数函数积分，反三角函数求导. 2x x 1 x 2x 1  2x x dex  解： e arctan e dx   arctan e de   e arctan e  2x 2x     2 2  e (1 e )  1 arctan ex dex de