数学：立体几何经典基础600题（六）有详细答案.docVIP

501. 在长方体ABCD－中，AB＝2，，M、N分别是AD、DC的中点． 　　（1）证明∥； 　　（2）求异面直线MN与所成角的余弦值． 解析：（1）∵ ∥∥，＝＝，∴ 是平行四边形，∴AC∥，又MN∥AC，因此，MN∥． 　　（2）由（1），是异面直线MN与所成角．在△中，，．于是有． 502. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得到四边形EFGH． 　　（1）四边形EFGH是______________； 　　（2）当对角线AC＝BD时，四边形EFGH是______________； 　　（3）当对角线满足条件______________时，四边形EFGH是矩形； 　　（4）当对角线AC、BD满足条件_______时，四边形EFGH是正方形． 解析：（1）由三角形中位线定理可知EFAC，HGAC，于是EFHG，故四边形EFGH为平行四边形； 　　（2）当AC＝BD时，由EF＝AC，EH＝BD，得EF＝EH，即平行四边形EFGH的邻边相等，故平行四边形EFGH为菱形； 　　（3）要使平行四边形EFGH为矩形，需且只须一个角是直角．如需EF⊥FG，则AC⊥BD； 　　（4）要使平行四边形EFGH为正方形，需且只须AC⊥ BD，且AC＝BD； 503. 借助两支铅笔，试研究以下问题： 　　（1）在平面内，过直线外一点有多少条直线与已知直线平行?在空间呢? 图9－17 　　（2）在一个平面内，过一点有多少条直线与已知直线垂直?在空间呢? 　　（3）在一个平面内，与该平面内的已知直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何?在空间，与一条直线所成角为60°的直线有多少条?这些直线与已知直线的位置关系如何? 解析：（1）在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；在空间也如此． 　　（2）在一个平面内，过一点（该点可在直线上，也可在直线外）有且只有一条直线与已知直线垂线；在空间过直线上或直线外一点都有无数条直线和已知直线垂直，这无数条直线在过已知点的一个平面上（以后可知该平面与直线垂直）． 　　（3）在一个平面内，与已知直线成60°角的直线有无数条，这无数条直线平行，且都与已知直线相交；在空间也是有无数条直线与已知直线成60°角，它们与已知直线位置关系是相交或异面． 504. 如图9－18，已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E、F分别为PA和BC的中点． 　　（1）求证：EF与PC是异面直线； 　　（2）EF与PC所成的角； 　　（3）线段EF的长． 解析：（1）用反证法．假设EF与PC共面于?，则直线PE、CF共面?，则A∈?，B∈?，于是P与A、B、C共面于?，这与已知“P是平面ABC外一点”矛盾．故EF与PC是异面直线． 　　（2）取PB中点G，连结EG、FG，由E、F分别是线段PA、BC中点，有EGAB，GFPC ∴ ∠GFE为异面直线EF与PC所成的角，∠EGF是异面直线PC与AB所成的角，∵ PC⊥AB，∴ EG ⊥GF，即∠EGF＝90°．∵ PC＝AB＝2，∴ EG＝1，GF＝1，故△EFG是等腰直角三角形，∴ ∠GFE＝45°，即EF与PC所成的角是45°． 　　（3）由（2）知Rt△EGF中EG＝1，GF＝1，∠EGF＝90°，∴ EF＝ 505. 如图9－19，在棱长为a的正方体ABCD—中，O是AC、BD的交点，E、F分别是AB与AD的中点． 图9－19 　　（1）求异面直线与所成角的大小； 　　（2）求异面直线EF与所成角的大小； 　　（3）求异面直线EF与所成角的正切值； 　　（4）求异面直线EF与的距离． 解析：（1）∵ ∥AC，∴ 与AC所成的锐角或直角就是与所成的角，连结、，在△和△，∵ ＝，，，∴△≌△，∴．∴△是等腰三角形．∵ O是底边AC的中点，∴ ，故与所成的角是90°． 　　（2）∵ E、F分别是AB、AD中点，∴ EF∥BD，又∵ ∥AC，∴ AC与BD所成的锐角或直角就是EF与所成的角．∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AC⊥BD，∴ EF与所成的角为90° 　　（3）∵ EF∥BD，∴ 为异面直线EF与所成的角．∵ 四边形是正方形，∴ ，∴ 在Rt△中，，＝＝，∴ ，即EF与所成角的正切值为． 　　（4）∵ EF∥BD，BD⊥AC，∴ EF⊥AC，设交点为G．∵ ⊥AC（由（1） 知）于O，则AC是异面直线EF与的公垂线，OG的长即为EF与间的距离，由于G是OA中点，O是AC中点，且，∴ ，即EF与间的距离为． 506. 在空间中， 　　①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线． 　　②若两条直线没有公共点，则这两条直线