波动问题的高精度重心有理插值配点法.PDFVIP

山东科学 第２５卷　第３期　２０１２年６月出版 ＳＨＡＮＤＯＮＧＳＣＩＥＮＣＥ Ｖｏｌ．２５Ｎｏ．３Ｊｕｎ．２０１２ ＤＯＩ：１０．３９７６／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－４０２６．２０１２．０３．０１７ 波动问题的高精度重心有理插值配点法 马燕，王兆清，唐炳涛 （山东建筑大学工程结构现代分析与设计研究所，山东济南２５０１０１） 摘要：提出一种数值求解波动问题的高精度重心有理插值配点法。对于给定的时间和空间上的计算节点，采用重心有理 插值近似未知函数，建立未知函数关于时间和空间变量导数的微分矩阵。将未知函数的重心有理插值近似函数代入波 动问题的控制方程，得到波动问题方程和定解条件的离散代数方程组。利用微分矩阵的记号，将离散后的代数方程组写 成简洁的矩阵形式。通过置换法施加边界条件和初始条件，求解代数方程组，得到波动问题在计算节点处的位移值。数 值算例表明，重心有理插值配点法具有计算公式简单、计算节点适应性好、程序实施方便和计算精度高的优点。 关键词：波动问题；重心有理插值；微分矩阵；配点法 中图分类号：ＴＢ１１５．１　　　文献标识码：Ａ　　　文章编号：１００２４０２６（２０１２）０３００８００８ Ｈｉｇｈｐｒｅｃｉｓｏｎｂａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｒａｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｏｆｗａｖｅｐｒｏｂｌｅｍｓ ＭＡＹａｎ，ＷＡＮＧＺｈａｏｑｉｎｇ，ＴＡＮＧＢｉｎｇｔａｏ （ＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＭｏｄｅｒｎＡｎａｌｙｓｉｓ＆ＤｅｓｉｇｎｆｏｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，ＳｈａｎｄｏｎｇＪｉａｎｚｈｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ２５０１０１，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ∶Ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎｍａｔｒｉｃｅｓｏｆａｎｕｎｋｎｏｗｎｆｕｎｃｔｉｏｎｒｅｇａｒｄｉｎｇｔｅｍｐｏｒａｌａｎｄｓｐａｔｉａｌｖａｒｉａｂｌｅｓｆｏｒｔｈｅ ｇｉｖｅｎｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｎｏｄｅｓｉｎｔｅｍｐｏｒａｌａｎｄｓｐａｔｉａｌｆｉｅｌｄｓｗｉｔｈｔｈｅａｐｐｒｏａｘｉｍａｔｉｏｎｏｆｂａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｒａｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｔｏｔｈｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．Ｗｅｉｎｉｔｉａｌｌｙａｃｑｕｉｒｅｄｉｓｃｒｅｔｅａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆａｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｉｔｓｄｅｆｉｎｉｔｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｂｙｉｎｓｅｒｔｉｎｇ ｂａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｒａｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎｏｆａｎｕｎｋｎｏｗｎｆｕｎｃｔｉｏｎｉｎｔｏｔｈｅｇｏｖｅｒｎｉｎｇｅｑｕａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｗｅｔｈｅｎｄｅｎｏｔｅ ｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓａｓａｃｏｎｃｉｓｅｍａｔｒｉｘｗｉｔｈｔｈｅｎｏｔａｔｉｏｎｏｆｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎｍａｔｒｉｃｅｓ．Ｗｅｅｖｅｎｔｕａｌｌｙｏｂｔａｉｎｔｈｅ ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈｅｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎｏｎｔｈｅｎｏｄｅｓｂｙｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔｍｅｔｈｏｄａｎｄａｐｐｌｙｉｎｇｂｏｕｎｄａｒｙａｎｄｉｎｉｔｉａｌｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｔｈａｔｔｈｅａｐｐｒｏａｃｈｈａｓｓｕｃｈａｄｖａｎｔａｇｅｓａｓｓｉｍｐｌｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，ｅａｓｙｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇａｎｄ ｈｉｇｈｐｒｅｃｉｓｉｏｎ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ∶ｗａｖｅｍｏｔｉｏｎｐｒｏｂｌｅｍｓ；ｂａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｒａｔｉｏｎａｌｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎｍａｔｒｉｘ；ｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ 　　弦振动和波传播问题也称波动问题，其控制方程为数学物理方程中的波动方程。波动方程的一般形式 为［１］ ２ｕ（ｒ，ｔ）  ２ ２