轴对称的性质及其应用.docVIP

轴对称的性质及其应用 轴对称的性质有二：（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等；（2）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段（或延长线）相交，那么交点在对称轴上，下面例谈轴对称轴性质的应用： 一、补画图形为轴对称图形 例1 如图1是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形（尽可能多画几个图） 分析：利用性质（1）作图。 解：所作图有下面几种 点评：本类型题可先作出对称轴，然后由轴对称的性质（1）补全图。 二、设计路程最短问题 例2 如图2，李庄M计划向两旁的交叉公路l1、l2旁设两上供货点，为使每次向两个供货点供货所走的路程最短，问供货点应设在什么地方？ 分析：要让所走路程最短，可以尝试利用轴对称性质，分别作点M关于直线l1、l2的对称点M1、M2；连结M1M2分别交直线l1、l2于点A、B。 解：如图2，作M关于l1、l2的对称点M1、M2，连M1M2交l1、l2于A、B，则A、B为两个供货点，因为MA+AB+BM=MM1+AB+BM2，所以沿着MA、AB、BM供货，路程最短。 点评：本类型是由轴对称的性质（1）作点关于直线（对称轴）的对称点，然后解决问题。 三、求角度 如图3，已知△ABC中，∠A=40°，AB=AC，MN是△DAB的对称轴，交AB于M，AC于D，求∠DBC的度数。 分析：利用等腰三角形和轴对称的性质解题。 解：因为∠A=40°，AB=AC，所以∠C=∠ABC==70°。 因为MN是AB的对称轴，由性质（1）知∠DAM=∠DBM， 所以∠DBM=40°，∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°。 四、折纸问题 如图4所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点 D′、C′的位置上，D′E与BC相交于点G，若∠CFC′=110°，求∠AEG和 ∠FGD′的度数。 分析：折纸问题是一种轴对称问题，折痕是对称轴，本题可利用轴对称性质（2）解决问题。 解：依题意知EF是DEFC、D′EFC′的对称轴 由轴对称性质（2）知DC、D′C′的延长线的交点在EF上，设为P，如图4，所以∠PFC=∠PFC′==55° ∵BC∥AD，∴∠DEF=∠CFP=55° 又∠D′EF=∠DEF ∴∠D′EF=55° ∴∠AEG=180°-∠D′EF-∠DEF=180°-55°-55°=70° ∠FGD′=∠GEF+∠GFE=∠GEF+∠DEF=55°+55°=110° 点评：为考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近年来中考题中常出现折叠问题。折纸的问题是一种轴对称的问题，这类问题中折痕所在的直线就是对称轴，处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可以利用。 1 / 3 图1 图2 图3 N 图4 P