基于DSP的IIR滤波器的的设计.doc

滤波器的基本原理与分析 1.1 滤波器简介 所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。因此，数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实现滤波的方法不同。正因为有该不同点，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点。如果要处理的是模拟信号，可通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以用数字滤波器对模拟信号进行滤波。与模拟滤波器一样，数字滤波器按照频率响应的通带性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。它们的理想幅频特性如下图： 低通图： 高通图： 带通图： 全通图： 模拟系统通常用微分方程来描述，离散系统则用差分方程来描述。差分方程可分为非递归型和递归型两大类： 非递归型：输出对输入无反馈，输出值仅仅取决于输入值。 若系统是线性、非移变、因果的，则有 若又有iN时， ai=0,则 递归型：输出对输入有反馈，输出取决于输入和反馈 若系统是线性、非移变、因果的，则有 对IIR数字滤波器的差分方程的一般形式 两边同时进行双边z变换得： 得IIR数字滤波器的传递函数： 1.2 IIR数字滤波器设计过程： (1)按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术指标 (2)用一个因果稳定的离散系统的系统函数H(z)逼近此性能指标 (3)利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等 (4)实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法 1.3 IIR数字滤波器设计方法： 因为IIR数字滤波器的系统函数是z的有理函数，可表示为 系统函数的设计就是要确定系数或者零、极点，以使滤波器满足给定的性能要求。这种设计一般有3种方法。 (1)零极点位置累试法。当滤波器性能未达到要求时，通过多次改变零极点位置来达到要求。此法只适用于简单滤波器。 (2)用模拟滤波器理论来设计数字滤波器。在IIR数字滤波器的设计中较多的采用这种方法。本节将详细介绍这种方法。 (3)用计算机辅助设计，优化技术设计。 1.4 IIR数字滤波器的基本结构 1.5 IIR数字滤波器设计原理 （1）所谓数字仿真即设计出的数字滤波器Ld的输入输出序列恰好等于一模拟滤波器La的输入输出时间信号的取样。 （2）即要求所设计的数字滤波器的输入x(n)等于x(t)的抽样信号x(nT)时，输出y(n)也恰好等于y(t)的抽样信号。 （3）下面分别从时域和频域来分析所设计的系统Ld的单位冲击响应h(n)和频率特性H(ejω)分别应满足的条件。 1.5.1 时域仿真的条件： 要设计一个数字系统Ld去仿真一个模拟系统La，从时域来讲主要考虑设计其单位冲击响应h(n)应满足何种条件，才能实现仿真。 设数字系统Ld与其需要仿真的模拟系统La的单位冲击响应、输入输出分别是：h(n)、x(n)、y(n)；ha(t)、xa(t)、ya(t)。 对于一个线性时不变的因果的模拟系统，其输入输出关系为： 其中 该积分即为τ≥0区间曲线ω(τ)下的面积，此面积可近似地用求和来计算（即将τ 轴离散化为：0、T、2T、…）： 上述等式当中要求T趋于0等号才成立。但抽样周期T不可能为0，那么当T足够小的时候，再把变量t用nT代替（即对模拟系统La的输出y(t)进行时间轴抽样），有： 其中 而数字系统h(n)的输入为x(n)的时，其输出为： 令x(n)=x(nT)，则数字系统的输出y(n)=y(nT)，即数字滤波器的输出与模拟系统的抽样输出结果相同。 也就是说：如果数字滤波器Ld的冲击响应h(n)=T ha(nT)，则当其输入为模拟滤波器输入x(t)的抽样x(nT)时，其输出就为模拟滤波器输出y(t)的抽样y(nT)，即Ld是此模拟滤波器La的数字仿真。 ∴从时域的观点来看，数字仿真的条件是：h(n)=T ha(nT);(T足够小) 1.5.2 频域仿真的条件 I由于已知时域仿真的条件即：数字系统的单位冲击响应h(n)要等于模拟系统的单位冲击响应h(t)的抽样h(nT)乘上T。 同理，频域仿真要找的条件即：数字系统的频率响应H(ejω)与模拟系统的频率响应H(Ω)之间要满足何种关系。 下面来推导H(ejω)和H(Ω)之间的关系： = = = 将相应的模拟信号的取样xa(nT)和模拟系统的频率响应Xa(Ω)替换为ha(nT)和Ha(Ω)： 令 得： 所以频域仿真的条件是H(ejω)和H(Ω)满足如下关系： H(ejω)和H(Ω)满足关系： 可看出： 如果Ha(Ω)被限制在一个周期内，则H(ejω)在此区间内与Ha(Ω)完全一