第9单元第54讲 空间距离及其计算、折叠问题.pptVIP

题型三 折叠问题 例3 在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90°，AD=DC= AB=a(如图①），将△ADC沿AC折起，使D到D′，记平面ACD′为α，平面ABC为β，平面BCD′为γ（如图②）. （1）若二面角α-AC-β为直二面角，求二面角β-BC-γ的大小； （2）若二面角α-AC-β为60°，求三棱锥D′-ABC的体积. 解析： (1)在直角梯形ABCD中，由已知△DAC为等腰直角三角形， 所以AC= a, CAB=45°. 过点C作CH⊥AB,由AB=2a， 可推得AC=BC= a， 所以AC⊥BC. 取AC的中点E，连接D′E，则D′E⊥AC. 又二面角α-AC-β为直二面角,所以D′E⊥β. 又因为BC平面β，所以BC⊥D′E， 所以BC⊥α. 而D′C α，所以BC⊥D′C， 所以∠D′CA为二面角β-BC-γ的平面角. 由于∠D′CA=45°， 所以二面角β-BC-γ的大小为45°. (2)取AC的中点E，连接D′E，再过点D′作D′O⊥β，垂足为O，连接OE. 因为AC⊥D′E，所以AC⊥OE， 所以∠D′EO是二面角α-AC-β的平面角， 所以∠D′EO=60°. 在Rt△D′OE中，D′E= AC= a， D′O=sin60°·D′E= a， 所VD′-ABC= ·S△ABC·D′O= × ·AC·BC·D′O, = · a· a· a= a3. 评析 分析求解折叠问题的关键是分辨折叠前后的不变量和不变关系，在求解过程中充分利用不变量和不变关系. 素材3 如图，已知四边形ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形（如图①）.将它沿对称轴OO1折成直二面角(如图②). (1)证明：AC⊥BO1； (2)求二面角O—AC—O1的正弦值. 解析：（方法1）（1）证明：由题设知，OA⊥OO1，OB⊥OO1, 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB. 从而AO⊥平面OBCO1. OC是AC在面OBCO1内的射影. 因为tan∠OO1B= = , tan∠O1OC= = , 所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°, 从而OC⊥BO1，由线面垂直得AC⊥BO1. 1.了解空间各种距离的概念，掌握求空间距离的一般方法. 2.能熟练地将直线与平面之间的距离，两平行平面之间的距离转化为点到平面的距离. 3.了解折叠问题的基本内涵，掌握分析求解折叠问题的基本原则. 1.在长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=a,AA1=2a,则点A到直线A1C的距离为( ) C A. a B. a C. a D. a 解析：如图，点A到直线A1C的距离，即为Rt△A1AC斜边上的高AE. 由AB=BC=a,得AC= a. 又AA1=2a,所以A1C= a, 所以AE= = a. 2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为( ) B A. B. C. D. 解析：取BC的中点M，连接AM、A1M，可证平面A1AM⊥平面A1BC. 作AH⊥A1M，垂足为H,则AH⊥平面A1BC. 在Rt△A1AM中，AA1=1，AM= ，A1M=2, 故AH= . 3.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列命题中正确的是( ) D A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BCD D.平面ADC⊥平面ABC 解析：由已知BA⊥AD,CD⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD. 从而CD⊥AB,又BA⊥AD,故AB⊥平面ADC. 又AB平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC. 4.正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a, E、F分别是B1C1、BB1的中点，则： (1)直线EF与平面D1AC1的距离是 ; (2)平面AB1D1与平面C1BD间的距离是 . 解析：(1)易知EF∥平面D1AC1.过E作E