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第1章 信号与系统章 离散时间;1.1 离散时间信号——序列 ;图 1-1 离散时间信号x(n)的图形表示 ; 离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下： ;1.1.1 序列的运算 ;图 1-2 图1-1序列x(n)的延时 ; 2． 序列的翻褶 如果序列为x(n), 则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如图1-3(a)、(b)所示。 ; 3． 序列的和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。 和序列z(n)可表示为 ; 4． 序列的乘积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。 乘积序列f(n)可表示为 ; 5． 序列的标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为 ; 6． 累加 设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为 ;7． 差分运算 前向差分 Δx(n)=x(n+1)-x(n) 后向差分 ▽x(n)=x(n)-x(n-1) 由此得出 ▽x(n)=Δx(n-1) ;1.1.2 几种常用序列 1． 单位脉冲序列δ(n) ;图 1-4 δ(n)序列 ; 这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数δ(t)。但是， 在连续时间系统中，δ(t)是 t=0 点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系统中的δ(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅度是1， 是一个有限值。  ;2． 单位阶跃序列u(n) ;图 1-5 u(n)序列 ;δ(n)和u(n)间的关系为 ;3．矩形序列RN(n) ;图 1-6 RN(n)序列 ;RN(n)和δ(n)、u(n)的关系为: ;4．实指数序列 ;图 1-7 指数序列 (a) |a|1; (b) |a|1; (c) a=-|a| ; 5． 正弦型序列 x(n)=A sin(nω0+φ) (1-10) 式中: A为幅度; φ为起始相位; ω0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。 ω0=0.1π时, x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一次循环。 ;图 1-8 正弦序列(ω0=0.1π) ; 6． 复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。 复指数序列的每个值具有实部和虚部两部分。 复指数序列是最常用的一种复序列： ;对第一种表示，序列的实部、虚部分别为 ;1.1.3 序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足 ;若Nω0=2πk, 当k为正整数时，则 ; （3）当2π/ω0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。  同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。  下面，我们来进一步讨论，如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？ ;设连续正弦信号xa(t)为 ;式中, fs是采样频率。可以看出，ω0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2π，或说是连续正弦信号的角频率Ω0对采样频率fs的相对频率。用ω0代替Ω0T， 可得 ; 下面我们来看2π/ω0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味着什么？ ;1.1.4 用单位采样序列来表示任意序列 用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的。  设{x(m)}是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即 ;则 ;1.1.5 序列的能量 序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和， 即 ;1.2 连续时间信号的采样 ; 采样器可以看成是一个电子开关，它的工作原理可由图1-9（a）来说明。设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通， 实现一次采样。如果开关每次闭合的时间为τ秒，那么采样器的输出将是一串周期为T