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第四章 数据的描述2---重要的统计量;§1 集中趋势的描述;§1.1 均值 §1.2 中位数 §1.3 众数 §1.4 均值、中位数、众数之间的比较 ;1 均值;1．算术平均数未经分组整理的原始数据，其算术平均（arithmetic mean)的计算就是直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数，称为简单算术平均数。 设一组样本数据为 ，则算术平均数的计算公式为： ; 根据分组整理的数据计算的算术平均数，要以各组变量值出现的次数或频数为权数计算加权算术平均数。 假设样本数据被分成组，样本数据各组变量的代表值用m1、m2、…、mk 表示，各组变量值出现的频数用f1、f2、…、fk ，则加权算术平均数的计算公式为： ;【例4.1】根据表中给出的某项调查中30名被访者的月收入水平分组数据，计算其平均收入水平： ;2．调和平均数 调和平均数（harmonic mean）也称倒数平均数或调和均值。 有简单和加权两种形式。 简单调和平均数是各个变量值倒数的简单算术平均数的倒数。主要应用于各变量值对应的标志总量相等的情况。当变量值用xi表示时，其计算公式如下： ;当各变量值对应的标志总量不相等时，用Mi表示各单位或各组的变量值对应的标志总量，其计算公式如下：;【例4.2】根据某证券交易所信息，已知四只股票某日的收盘价和成交额如表所示，计算这四只股票的当日平均收盘价格。 ;3．几何平均数 几何平均数（geometric mean）也称几何均值，通常用来计算平均比率和平均速度。计算公式为： 几何平均数也可看作是算术平均数的一种变形.;【例4.3】某股票投资者长期持有一只股票，2005-2008年每年的收益率分别是5.6%，7.2%，28.5%，-15.6%。计算该股票投资者4年内的平均收益率。;4．均值的特点 ： 均值一般用于寻找定量数据的中心代表值，并不适用于定性数据。 均值的优点在于它对变量的每一个取值都加以利用。 均值的缺点在于其统计量的稳健性较差，即容易受到极端值的干扰。;2 中位数 ;1．中位数的确定 变量的取值数据规模较小时，将数据按大小排列。 当数据个数N为奇数时，处在 位置上的变量取值大小即为改组数据的中位数； 当数据个数N为偶数时，处在 和 位置上两个变量取值的简单算术平均数即为中位数。;当变量的取值数据规模较大时，将数据按单变量分组或组距分组，得到频数分布 。对频数分布做向上累计或向下累计： 当 为偶数时，第 个变量值所在的组为中位数所在的组。 当 为奇数时，第 个变量值所在的组为中位数所在的组。 如果是单变量分组，可以该组标志值作为中位数。 ;如果是组距分组，则采用如下公式近似计算得到计算公式 下限公式： 上限公式： ;【例4.4】给出的某项调查中30名被访者的月收入水平分组数据，得到累积频数分布表，计算其中位数。;2．根据统计图来寻找中位数 对于处理成茎叶图的数据： 首先找到频数一半所对应的那段茎。 然后在对应的叶上找处在全部数据中间位置上的数即可。;例：;如果图形中没有原始数据，例如直方图。 ;假设数据在中位数所在区间组均匀分布，全部100名调查员的中位数说对应的位置应当是50.5。通过图中观察在140-150组之前的累积频数是42，只需要在140-150之间找到第8.5位置上所对应的数。 由于假设140-150间这18个数是均匀分布的，而这段区间的长时10，因此区间上第8.5位置上的数应当是 。即中位数是144.7 ;3．中位数的特点 中位数很好的代表了一组数据的中间位置。 当直方图显示数据时一个有偏分布时。中位数具有较好的稳健性，对极端值并不敏感。 中位数并没有利用数据的所有信息，其对原始数据信息的代表性不如均值。;3 众数 ;1．定性变量的众数确定 根据分类变量和顺序变量的不同取值得到频数分布，确定众数时，只需找出频数出现最多所对应的变量取值即为众数。 例： 通过观察频数分布表，可以直观看到受教育水平为高中的频数最大。因此对于3000名被调查者受教育水平来说，众数就是高中学历。 ;2．定量变量的众数确定 对于离散型变量的取值，计算众数时，只需找出出现次数最多的变量取值即为众数。 【例4.5】根据表中35名调查员的有效问卷频数分布资料，确定众数。;对于连续性变量的取值，首先根据组距分组得到频数分布。对于等距分组，对应频数最大的组为众数所在组；对于不等距分组，对应频数密度最大的组为众数组。;设众数组的频数为 ，众数前一组的频数为 ，众数后一组的频数为 。 假定数据在众数组均匀分布，众数与其相邻两组的频数分布有如下关系： 下限公式： 上限公式： ;*;【例4