1112学年高中数学 23 数学归纳法同步练习 新人教A版选修22.doc

选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n(n∈N*，n1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋2　　　　　　B．1＋＋＜2 C．1＋＋＜3 D．1＋＋＋＜3 [答案]　B [解析]　∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为＝，故选B. 2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为(　　) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案]　B [解析]　因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B. 3．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B. C.＋ D.－ [答案]　D [解析]　f(n＋1)－f(n) ＝ －＝＋－ ＝－. 4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案]　C [解析]　原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是(　　) A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案]　C [解析]　∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C. 6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 [答案]　C [解析]　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C. 7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2nn2－2”这一命题，证明过程中应验证(　　) A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立 [答案]　D [解析]　假设n＝k时不等式成立，即2kk2－2， 当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k2(k2－2) 由2(k2－2)≥(k－1)2－4k2－2k－3≥0 (k＋1)(k－3)≥0k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D. 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　) A．30 B．26 C．36 D．6 [答案]　C [解析]　因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36. 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1 ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝an　(n≥2)． 当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝ a3＝a2＝，a4＝a3＝. 由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝ 猜想an＝，故选B. 10．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立． (2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k＋1，则n＝k＋1时，＝＝＝(k＋1)＋1， ∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法(　　) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [答案]　D [解析]　n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D. 二、填空题 11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________． [答案]　当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析]　当n＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形． 12．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜测S