选修4-5 4数学归纳法.精选.ppt

* 4 数学归纳法证明不等式 选修 4-5 对于一些与无限多个正整数相关的命题，如果不易用以前学习过的方法证明，用数学归纳法可能会收到较好的效果. 什么是数学归纳法 ? 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤: (1)证明当n=n0时命题成立； (2)假设当n=k 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法. 用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可.(1)证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性.在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立.(2)证明了第二步，就获得了推理的依据. 仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…是否正确.在第二步中，n=k命题成立，可以作为条件加以运用，而n=k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明.完成一、二步后，最后对命题做一个总的结论. 用数学归纳法证明等式问题 ？ 用数学归纳法证明整除问题 数学归纳法证题的关键是“一凑假设，二凑结论”，在证题的过程中，归纳假设一定要起到条件的作用，即证明n=k+1成立时必须用到归纳假设这一条件. 特别提示: 用数学归纳法证明几何问题 特别提示: 用数学归纳法证几何问题，应特别注意语言叙述正确，清楚，一定要讲清从n=k到n=k+1时，新增加量是多少. 一般地，证明第二步常用的方法是加一法，即在原来的基础上，再增加一个，也可以从k+1个中分出一个来，剩下的k个利用假设. 补充练习 用数学归纳法证明不等式问题 练习 *