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数学实验一：解析函数对平面向量场的应用 1．平面向量场 我们首先用流速场来阐明稳定平面向量场的概念。 流体力学中我们知道，所谓不可压缩流体是指密度不因压力而改变的流体。通常液体被 视为不可压缩的。当空气流速不超过音速 (330m / s) 的0.6 −0.8 倍时，也可视其为不可压 缩的。 所谓流体的平面流动指在流动中，垂直与某平面的每一垂线上所有各质点的速度相同， 且与指定平面平行。显然，对于平面流动，只须研究某指定平面上流动即可。在平面流动中， 各质点的速度仅与各质点的位置有关，而不随时间变化，则称其为平面稳定流动。 在不可压缩流体的平面稳定流动中，取上述平面作为 平面，若对于 平面上某一区域 z z D 内的每一点，有一个大小和方向都不随时间变化的速度向量与它对应；则在D 内确定了 一个稳定平面向量场。 在区域 D 内任取一条简单曲线C 。以C 为准线，垂直于C 的直线为母线，作一个高为 1的柱面，单位时间内通过上述柱面流向它的某一侧的流量 即流体的质量 ，称为通过C 流 ( ) 向它的某一侧的流量。设流体的密度为1。由于流体是不可压缩的，所以上述流量可用所流 过的流体在D 上所遮盖的图形的面积来度量。通常指定流体向 C 的某一侧的流量为正，则 流体向相反的一侧的流动的流量为负。 取曲线 C 上的弧元素AB ds 。指定 C 的方向，并相应取定它的法线的方向，使沿着 C 按取定方向前进时，法线所取定的方向总指向 C 的右侧。设在点A 处的速度向量为v,v ,v n t v ds 分别表示 在法线方向上的投影，则在单位时间内，通过元素 流向法线所指定那一侧的 流量等于 v ds. （1） n ds v C 实际上，这个量就等于以 及 为边的平行四边形面积。于是单位时间内流体通过曲线 流 向取定一侧的流量Q 为 Q v ds. ∫ n C v v a +ib α C 设 的实部和虚部分别为a a(x, y) 及b b(x, y) ，即 ， 表示沿 正向的 π 切线与实轴的夹角，则取定法线方向与实轴的夹角为 β α− 。从而C 上切线向量和法 2 线向量的方向余弦分别是： 和 于是 cosα,sinα cos β sinα,sin β =−cosα. 1 vt v =⋅{cosα,sinα} a co