北京市第四中学2015届高三上学期期中考试数学（理）试题.docVIP

（试卷满分150分 考试时间：120分钟一、选择题共8小题，每小题5分，共40分 设集合，，则＝ （B）{2} （C）{0，1} （D）{1，2} ，则 （A） （B） （C） （D） 已知是虚数单位，“”是“的 充分不必要条件 必要不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 向右平移个单位 向左平移 （C）向右平移个单位 向左平移个单位 函数的图象大致为 （A） （B） （C） （D） ，向量，，，且，，则 ＝ （A） （B） （C） （D） 已知若函数只有一个零点，则的 取值范围是 （A） （B） （C） （D） ④ 存在经过点的直线与函数的图象不相交. （B）①③ （C） ②③ （D）②④ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分 在等差数列中，已知，则该数列前11项和＝ 如图，阴影区域是由函数的一段图象与x轴围 成的封闭图形，则该阴影区域的面积是 . 在△中，角的边分别为，，，则 . 已知实数满足，则的最大值是 . 若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范 围为 . 设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点.则在下列集合中 ； ② ； ； ④ 整数集. 以0为聚点的集合有 .（请写出所有满足条件的集合的编号） 三、解答题共6小题，共80分 （本题满分13分）,. （Ⅰ）求函数的最小正周期与单调增区间； （Ⅱ）求函数在上的最大值与最小值. （本题满分13分）满足：，.数列的前项和为，. （Ⅰ）求数列，的通项公式； （Ⅱ）设，.求数列的前项和. （本题满分13分） 已知函数求的单调区间； 若，函数图象上任意一点处切线的取值范围 （Ⅰ）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? （本小题满分14分） （Ⅰ）若为的极值点，求实数a的值； （Ⅱ）若在上为增函数，求实数a的取值范围. (本小题满分14分) 已知或1，，对于，表示和中对应的元素不同的个数． （Ⅰ），，且的的个数； （Ⅱ），若，求证： （Ⅲ），若，求所有之和． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9 88 10 11 12 —2 13 14 ②③ 三、解答题：本大题共6小题，共80分 . （Ⅰ）的最小正周期为 令，解得， 所以函数的单调增区间为. （Ⅱ）因为，所以，所以 ， 于是 ，所以. 当且仅当时 取最小值 当且仅当，即时最大值. 16．解: （Ⅰ）由得，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是，. 当时， 当时，， ， 又时，所以，. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，所以所以 ………(1) 17.解：函数的定义域为 当时，在上恒成立，于是在定义域内单调递增. 当时，得 当变化时，变化情况如下 — + 极小值 所以的增区间是. 综上，当时，单调递增区间是时，的增区间是. （Ⅱ）当时，，令， 则，故为区间上增函数，所以，根据导数的几何意义可知 18．解:∵,∴∴, ∴ 根据得（min）. 设乙出发）分钟后,甲乙距离为,则 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.由正弦定理得(m)乙从出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达设乙步行速度为,则.解得. ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内解： 1分因为x = 2为f (x)的极值点，所以 2分即，解得：a = 0 3分又当a = 0时，，时，时， 从而x = 2为f (x)的极值点成立． 分解：f (x)在区间[3，+∞)上为增函数，在区间[3，+∞)上恒成立． 分当a = 0时，在[3，+∞)上恒成立，所以f (x)在[3，+∞)上为增函数，故a = 0符合题意．分当a 0，在区间[3，+∞)上恒成立． 令，其对称轴为 a 0，，从而g (x)≥0在[3，+∞)上恒成立，只要g (3)≥0即可，由，解得： a 0，．综上所述，a的取值范围为[0，] 14分 20. 解：（Ⅰ）； （Ⅱ）证明：令， ∵或1，或1； ，时， 当， 时， 当，时， 当，时， 故 ∴ ………9分 （Ⅲ）解：易知中共有个元素，分别记为 ∵的共有个，的共有个． ∴ = = ∴=． 法二：根据（Ⅰ）知使的共有个 ∴= = 两式相加得=