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变维分形形式的库仑定律和牛顿第二定律 付昱华 （中国海洋石油研究中心，北京4728信箱，100027） [摘要] 在理论上导出常维分形形式的库仑定律及牛顿第二定律的基础上，考虑到两个带电物体做中心对中心运动时原有的库仑定律及牛顿第二定律精确成立，针对一个实例（带电小球在带电球体的电场中沿长斜面滚下）同时导出更精确的变维分形结果：改进的牛顿第二定律 ，；改进的库仑定律 ，；其中为小球滚下的水平距离。 [关键词] 分形；变维分形；牛顿第二定律；库仑定律；理论推导 1 前言 在电学领域，库仑定律是一个非常重要的定律。在参考文献[1]中，探讨了从理论上导出牛顿第二定律及库仑定律的可能性，文中根据能量守恒定律，给出用变维分形方法针对一个实例（小球沿长斜面滚下）同时导出改进的牛顿第二定律及库仑定律的方法。由于求解过程十分复杂，为简便计，只是具体给出适用于文中实例的常维分形结果。这些结果虽然比原有的牛顿第二定律及库仑定律的效果好，但是仍然有许多不足之处。首先，常维分形结果的近似程度不够好；其次，小球处于开始的静止位置时，原有的牛顿第二定律及库仑定律是精确成立的，但是常维分形结果无法反映这一事实。针对这种情况，有必要探讨变维分形的结果。 2 各种守恒原理建立的变分原理 在参考文献[1]中，仅仅根据能量守恒定律建立了导出牛顿第二定律及库仑定律的变分原理。为了扩大应用范围，下面用最小二乘法给出各种守恒定律建立的变分原理。 设封闭系统的初始守恒量为，在任意时刻的守恒量为，则根据守恒定律应有 =。 （1） 上式可以写为 =。 （2） 应用最小二乘法，对于区间[]，根据守恒定律可得如下变分原理 作者E-mail: fuyh@ 。 （3） 式中：表示泛函的最小值而且应当等于零[2]。 除了时间坐标以外，还可以采用其他坐标，例如对于区间[]，根据守恒定律可得如下变分原理 。 （4） 以上是直接应用各种守恒定律建立的变分原理。有时为了导出其他定律等目的，还需要间接应用守恒定律建立变分原理。例如，感兴趣的某一物理量，既可以应用守恒定律来计算（对于本文则是能量守恒定律），又可以应用其他定律（对于本文则是牛顿第二定律及库仑定律）来计算。为了便于区别，将其他定律计算的结果仍然记为，将守恒定律计算的结果记为，令重新定义如下 = （5） 将式（5）代入式（3）和式（4），由于是根据守恒定律计算的结果，所以得到间接应用守恒定律建立的变分原理。另外，与的符合程度也一目了然。 变维分形形式的改进的牛顿第二定律及库仑定律 在牛顿力学范围内，已经对万有引力定律做出了一些改进。例如在参考文献[3]中，给出如下的改进公式： 。 （6） 式中：为引力常数；和为两物体的质量；为两物体间的距离；为光速；为质量为的物体在质量为的物体的引力场中沿圆锥曲线运动时的半正焦弦，而且有：(1-e2)，对于椭圆；(e2-1)，对于双曲线；= y2/2x，对于抛物线。 该公式对水星近日点进动问题和光线近日偏折问题均能给出与广义相对论一样的正确解。当两物体做中心对中心运动（含相对静止）时，可视为半正焦弦 = 0的情况，此时改进的万有引力公式与原有的万有引力公式相同。但是，式（6）只能处理两物体做中心对中心运动（含相对静止）和质量为的物体在质量为的物体的引力场中沿圆锥曲线运动时的情况，对于受约束等情况而作非中心对中心直线运动（不含相对静止）和沿其他曲线运动的情况，就要讨论更一般形式的万有引力定律。基于类似的原因，我们要讨论更一般形式的库仑定律。 分形分布可用如下幂指数分布定义[4] N = 式中：ｒ为特征线度，如长度、时间等；N 为与 ｒ 有关的数量，如力、温度和高度等；Ｃ为待定常数，Ｄ为分维数。 当Ｄ为常数时，这种分形可称为常维分形；当Ｄ为变量时，可称为变维分形[5~7]。 可以将改进的库仑定律写为变维分形[1, 5~7]的形式： 。 （7） 式中，例如可以令 。