量子力学（第五章微扰理论）.pptVIP

里兹变分法： 设试探解为含有参数 的波函数 （基态能量） 令 可求出 的最小值，即为E0的近似值。因 设体系的哈密顿量的本征值为 相应的本征函数为 构成完全系，则试探解可按 展开 在 态下，体系能量的期望值 即 任意波函数 算出的能量期望值总是大于基态能量 ,故 可选很多。最小的一个 最接近于 ，相应的波函数最接近 。 RETURN 若波函数未归一化，则 §5.5 氦原子基态（变分法的应用） 氦原子哈密顿量： 其中： 为两个电子之间的距离 为两电子之间的相互作用 氦原子基态：（选取基态试探波函数） 考虑到两电子间的互作用，两电子相互屏蔽，核的有效电荷不是2e，所以可视为参量，故有： 试探波函数： 能量平均值： 第一项 第二项 第三项 ——电子1与电子2间总的相互作用库仑势能 ——第一个电子在 处的电荷密度 ——第一个电子在 处的电荷密度 —— 第一个电子在 处产生的总电势 第三项 所以 由 氦原子基态能量： 氦原子基态波函数： 所以，当 时， 得 附注：第三项积分的另一种计算方法 第三项 可以展开为 夹角 为的勒让德多项式 RETURN 取 方向为z轴，对 积分，在对 角的积分中，利用 ，以及 正交归一条件， 其中 ,可见勒让德多项展开式中只有l=0项对积分有贡献。所以 第三项 §5.6 与时间有关的微扰理论 一、跃迁概率 二、常微扰跃迁概率公式 三、周期性微扰 RETURN §5.6 与时间有关的微扰理论 一、跃迁概率 设体系的哈密顿量 t=0时，处于 的本征态 t时刻,处于 的本征态 的定态波函数为 其中 满足 则 t=0 →t 量子态： (其中 ) 测量能量本征值为 的概率 跃迁概率： 跃迁速率： 1. 满足的薛定谔方程 把 代入薛定谔方程，得 （即由量子态 态的几率） 因为 所以 左乘 ，再对空间积分,由波函数的正交归一性： 令 称为由 的玻尔频率 能量表象中的薛定谔方程： 2. 的一级近似解 设 很小，可看作微扰 其中 无微扰时，解为 。 由薛定谔方程： ，显然， 与t无关。 因 则 所以，薛定谔方程化为： 所以 或 在一级近似下，体系由初态k→终态n的跃迁概率幅： 一般，终态不同于初态，即 ，则 跃迁概率： RETURN 二、常微扰跃迁概率公式 考虑情况： 态（连续谱或近连续谱） 初态k→终态n的跃迁几率=各种可能跃迁概率之和 设 代表终态 处的态密度,则 内的量子态数为 ，所以： 初态k→n终态的跃迁概率 式中： 常微扰： 所以： 因为：当t足够大时, 且 故 跃迁概率： 跃迁速率： （费米黄金定则） RETURN * 第五章 微扰理论 §5.1 非简并态微扰论 §5.2 简并态微扰理论 §5.3 氢原子的一级斯塔克效应 §5.4 变分法 §5.5 氦原子基态（变分法的应用） §5.6 与时间有关的微扰理论 §5.7 光的发射和吸收 RETURN 第五章 微扰理论 引言：应用薛定谔方程求解体系的能量本征值与本征函数时，除少数问题可以求精确解外，一般不能严格求解，要采用各种近似方法。本章仅讨论应用最广泛的一种近似方法——微扰论。 设体系的哈密顿量 （不显含t） 其中 是描述某种相互作用强度的一很小的实参数，即 , 称为微扰。 的本征值或本征函数较易求出或已知的，则 的影响可逐级考虑，以得出尽可能接近精确解的近似解。 基本精神：逐级近似 §5.1 非简并态微扰论 设体系满足薛定谔方程 其中： 设 是表征微扰程度的小参量 的函数 能级 分成简并或非简并两种情况。下面讨论非简并情况。 分别称零级近似能量和零级近似波函数。 把上两式代入薛定谔方程，得 （1） （2） （3） 逐级求解。 比较 的同次项 一级近似： （1）能量一级近似 由（2）式： 两边左乘 ，再对空间积分 左边= 所以，能量的一级修正 （2）波函数的一级近似 令 两边左乘 ，再对空间积分 代入（2）式，得 可以证明 当m=n时， 。 所以，波函数的一级修正 二级近似： (1)能量的二级近似 左边= 把 代